COURBES TRANSCENDANTES

dit, la courbe peut être engendrée en prolongeant les ordonnées d'un cercle jusqu'à ce que la partie prolongée soit égale à l'arc correspondant mesuré de l'extrémité du diamètre. En représentant l'angle PCN par 8, la courbe rapportée aux axes AM et MN est représentée par les équations

^ = a( 1 + cosô), X = a(6 4- sinô).

301. Il est facile de voir comment on peut mener une tangente à la courbe ;• en effet, à un instant quelconque du mouvement du cercle générateur, m (son point le plus bas) est en repos, et le mouvement de tout point du cercle est pour ce moment le même que s'il décrivait un cercle ayant m pour centre; donc la normale au lieu du point/? doit passer par m et sa tangente doit être parallèle à NP. On arrive au même résultat analytiquement à l'aide de l'expression

dv sin© ,

-j^ =: — = COt-i"Cp.

dx I — cos'f -^ '

La tangente fait donc avec l'axe des x un angle qui est le complément de GNP, ou qui est égal à j^.

Il est si facile de donner des démonstrations géométriques de quelques-unes des principales propriétés de la cycloïde que nous les citerons ici. L^aire de la courbe est égale à trois fois l'aire du cercle générateur. En effet, l'élément de l'aire extérieure (pp^rr^ = pp'tt'=PP^QQ^) est égal à Télément de l'aire du cercle; l'aire extérieure tout entière AENFB est donc égale à celle du cercle, et par conséquent l*aire intérieure ANB est trois fois l'aire du cercle.

Varc N/) de la cycloïde est le double de la corde NP du cercle.

11 est facile de voir que le triangle PP'L estisoscèle et que, par conséquent, si l'on abaisse une perpendiculaire MK sur la base PL, l'accroissement infinitésimal de l'arc de la cycloj'de est double de l'accroissement PK de la corde du cercle.

388 cnAPiTRK VII.

Donc, si s représente Tare de la cycloïde, b le diamètre du cercle générateur, x Tabscisse NQ comptée à partir du sommet, Téquation de la courbe est 5^=46^; cette forme est très utile en Mécanique.

Le rayon du cercle de courbure est double de la normale.

En eflfet, le triangle formé par deux normales consécutives a ses côtés parallèles à ceux du triangle PMP'. Mais la base du premier triangle est égale à PL, et, comme nous l'avons démontré, elle est le double de la base PK du second; donc le rayon de courbure est double de MP.

La développée de la cycloïde est une autre çycloïde.

En effet, si nous supposons qu'un cercle soit tangent à la base en m et passe par le centre de courbure R {Jig'^yjj il sera

Fig. S3.

égal au cercle générateur et l'arc /iR sera égal à NP = nD; donc le lieu de R est la cycloïde décrite par le cercle mR« roulant sur la base EF ( • ).

(') Les propriétés de la cycloïde ont été beaucoup étudiées par Ie< plus grands mathématiciens de l'Europe, pendant la première moitié du ivii* siècle. Leur attention a été appelée la première fois sur ces pro-

COtnDES TRANSCENDANTES. 889

Nous pourrions aussi chercher le lieu d*un point quelconque du plan du cercle générateur, entraîné par celui-ci dans son mouvement de roulement; quand le point est hors du cercle, le lieu s^appelle une cycloïde allongée; quand il est en dedans, une cycloïde raccourcie. Ces lieux ont aussi été appelés trochoîdes. Il n'est pas diflicile de calculer leurs équations ou de déterminer leurs figures, mais il ne semble pas nécessaire de nous y arrêter. La méthode donnée pour mener des tangentes à la cycloïde s'applique également à ces courbes. Ces dernières peuvent (le lecteur s'en assurera facilement) être engendrées par un point de la circonférence d'un cercle qui roule de telle manière que l'arc pm soit dans un rapport constant avec la droite A m.

303. Après avoir recherché les propriétés de la cycloïde, on était conduit par une extension toute naturelle à discuter la courbe engendrée par un point d'un cercle qui roule sur la circonférence d'un autre cercle. Quand le point est sur la circonférence même du cercle, la courbe engendrée s'appelle épicYcloïde ou hypocyclolde selon que le cercle roule à Textérieur ou à l'intérieur du cercle fixe. Si le point générateur n'est pas sur la circonférence même, la courbe a reçu le nom d^épitrochoïde ou Aliypotrochoîde.

Prenons pour axe des x la position du diamètre commun aux deux cercles, qui passe par le point générateur ; soient CO

blêmes par Mersenne. Mais Galilée a des droits à être regardé comme Tinrentenr de la description de cette courbe. N'ayant pa obtenir la quadrature de la courbe par des méthodes géométriques, il essaja de résoudre le problème eo pesant Taire de la courbe et en comparant le résultat obtenu au poids du cercle; il arriva à cette conclusion que la première aire était à peu près, mais pas exactement trois fois la dernière. Le problème de la quadrature a été résolu d*une manière exacte par Roberval en i634. La méthode pour mener les tangentes a été découverte par Descartes, la rectification parWren, la développée par Huygens, plusieurs autres propriétés importa otes par Pascal .

390 CHAPITRBYII.

une autre position de ce diamètre, Q le point générateur; soient CN =a, 0N= é, NCB = ç, PON = ^, OQ = rf(/î^. 54).

Fis. 54.

Comme BN = NP, nous avons aff = b^; OQM = 1 80 — (y + i) et les coordonnées de Q sont

y=z{a-h ^)sîn<p— ^/sin(<pH-<}/), â?=:(a4- ô)coSïp — c?cos(<p 4- ^)

ou bien, si a + 6 == mb,

y = mb sin<p — e/sînmcp, x^=L mbcos<f — ^cosm^p.

En éliminant (f entre ces deux équations, nous obtenons Téquation de la courbe qui n'est pas nécessairement transcendante. En effet, quand les circonférences des cercles sont commensurables, après un certain nombre de révolutions, le point générateur revient en Tune des positions précédentes, la courbe est fermée et a des dimensions algébriques finies; mais, si elles ne sont pas commensurables, le point générateur ne reviendra pas à la même position après un nombre fini de révolutions, et la courbe sera transcendante.

Pour obtenir les équations de Pépicycloïde, nous n'avons