ËGHANGE ENTRE LES COORDONNÉES DE DROITE ET DE POINT

332. Dans la méthode de transformation que nous venons de décrire et dans les autres que nous avons considérées dans ce Chapitre, un point correspond à un point et une droite à une droite; il existe néanmoins des transformations dans lesquelles un point d'une figure correspond à une courbe dans l'autre figure. Nous rencontrons une transformation de ce genre dans la méthode des polaires réciproques, où un point correspond à une droite et réciproquement. Il en est aussi de même dans la transformation homographique plus gêné-

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raie, ou dans la théorie des réciproques gauches, qui esl définie comme il suit : Imaginons un système de coordonnées de points x^y^ zei un système de coordonnées de droites a, p,^ situés dans le même pl^n ou dans des plans différenls; un point du premier système correspondra à une droite du second si les coordonnées x, j , z du point sont respectivement proportionnelles aux coordonnées a, p, y ^^ '^ droite. Dans ce cas, une droite quelconque Ix + my + nz du premier système aura pour correspondant le point laL + m^ -i-ny du second. Il est évident aussi qu'un système de quatre points situés sur une même droite aura pour correspondant un faisceau de quatre droites ayant le même rapport anharmonique. En effet, le rapport anharmonique de JK — ix,y — mx, y — nXj y — px est la même fonction de /, m, n^ p^ que x et y représentent des coordonnées de droites ou de points. La méthode que nous venons d'indiquer peut être combinée avec une autre quelconque des transformations que nous avons définies dans ce Chapitre; autrement dit, nous pouvons supposer que, dans Tune quelconque d'entre elles, un des systèmes de coordonnées a été changé en un système de coordonnées de droites ou coordonnées tangentielles ; et de cette manière nous pourrons obtenir toutes les transformations possibles dans lesquelles un point correspond à une droite, et une droite à un point.

333. Supposons maintenant que les deux systèmes soient situés dans le même plan et cherchons à exprimer la transformation uniquement à l'aide des coordonnées de points. A un point quelconque (x', y, z') doit correspondre une droite dont les coordonnées rapportées à un certain système de coordonnées de droites (a, P, y) sont (j:', y, ^y Ceci revient à dire que son éq nation doitétre:r'X -h ^Y-h-Z = o où X= o, Y := o, Z = o sont les droites qui joignent les points représentés par a=:o, P = o, Y=o; et, comme ce

É::ilJL!«GS EXTRE LES COORDONNÉES DB DROITE ET DE POINT. 4^3

sont des droites connues, l'équation de la droite qui correspond au point x'y'z' doit être de la forme

C'est une équation qui contient huit constantes et qui coïnciderait avec Téquation de la polaire d'un point par rapport à une section conique, si Ton avait seulement b\ = a^, C| = a2t 63 = C2 ; l'équation, dans ce cas, ne contiendrait que cinq constantes.

334. Dans le cas général, chaque point a pour correspondant une droite différente, selon que le point est considén* comme appartenant au premier ou au second système. Ainsi l'équation que nous venons d'écrire exprime la relation qui existe entre un point (a:', ^, z') du premier système et un point (Xjyy z) situé sur une droite correspondante du second système. Supposons maintenant que le dernier point soit (ixc et le premier variable, nous aurions pour la droite du premier système qui correspond à un point du second l'équation