TRANSFORMATION LINÉAIRE

324. Soient x,y^ z les coordonnées de P rapporté à un système quelconque d'axes dans le premier plan; soient a/,y,5' celles de P rapporté à un système quelconque d'axes du second plan; la correspondance des deux points est dite linéaire quand les dernières coordonnées sont proportionnelles à des fonctions linéaires des premières.

x:y : z' = ax-^ by-^cz : a'œ-^b'y-{-dz\a!'x-^b'y-r-c'2.

TRANSFORMATION LINÉAIRE. 4l3

Ed résolvant ces équations, nous obtiendrons évidemment aussi pour x^ y^ z des expressions linéaires en fonction de

x:^:5=\^'4-B/-4-C:;':A':r'-hBy-4-C'5':V^'4-B'y-+-C''y.

Il est facile de voir que, si nous choisissons convenablement les triangles fondamentaux aussi bien que les rapports des constantes implicites, ces équations pourront, sans rien perdre de leur généralité, être écrites sous la forme jd *, y \ z'=xlyl z. Ainsi à une position de Tun des points il correspond donc une position unique de l'autre point. Si P décrit une courbe ç(x, j^', z) == o, en remplaçant dans cette équation x^y^ z par les valeurs que nous venons d'écrire, lious obtiendrons Téquationde la courbe décrite par P'. Celte dernière équation est évidemment de même ordre que la première; donc une courbe située dans Tun des plans a pour correspondante une courbe de même ordre dans Tautre plan. En particulier, à une droite dans Tun correspond une droite dans l'autre. Si a = o, 3 = 0, Y = o représentent trois droites du premier plan ; el si, par la substitution indiquée ci-dessus, a, p, y deviennent respectivement a', P', y', une droite quelconque

du premier plan aura évidemment pour correspondante la droite

dans l'autre plan. Il est aussi évident qu'à un point double ou à un point de rebroussemeut d'une des courbes correspondra un point double ou un rebroussemeut sur l'autre, en sorte que deux courbes qui se correspondent dans cette méthode auront les mêmes caractéristiques Plùckériennes. Les quantités x',y, zf exprimées en fonction de x,y, z contiennent chacune trois constantes : il y a donc neuf constantes employées dans cette méthode de transformation; mais, comme nous n'avons

4l4 CHAPITRE YllI.

affaire qu'aux rapports mutuels de x\ ^, .s', nous pouvons faire disparaître une constante par la division, et la méthode de transformation homographique doit être regardée comme comprenant huit constantes arbitraires.

325. Un faisceau de quatre droites passant par un point a pour correspondant un faisceau dont le rapport anharmoniqueest le même. En effet, nous avons montré [Sections coniques^ n'* 59) que le rapport anharmonique de quatre droites, a — ^P,a — /p, a — /np, a — n^ est une fonction de Âr, /, /w,/i seulement et qu'il est par conséquent le même que le rapport anharmonique de a — k^'^ .... De même à quatre points en ligne droite correspondent quatre points dont la fonction anharmonique est la même.

Étant donnés quatre points quelconques de la première (îgure et les points A', B', C, D'qui leur correspondent dans la seconde, on voit facilement d'après cela comment nous pouvons construire le point P' qui correspondra à un autre point quelconque P de la première figure. En effet, le rapport anharmonique du faisceau A'(B', C, D', P') est égal à celui du faisceau A (A, C, D, P); nous pouvons par conséquent construire la droite A', P'; nous construirions de même les droites BT', C'F, D'P' et ces quatre droites concourront évidemment en un même point, qui est le point P'. Cette construction est applicable, que les deux plans soient distincts ou superposés.

326. Supposons maintenant les plans superposés, et cherchons une autre construction géométrique pour exprimer la relation entre les droites et les points correspondants. Soient A, B, G les sommets du triangle formé par les droites x^y^ 5; et A', B', C ceux du triangle formé par les droites correspondantes. Comme toutes les droites issues de A forment un système homographique aux droites correspondantes menées par A',

TRANSFOKMATION LINÉAIRE. 4^5

le lieu des points d'intersection des droites correspondantes est une conique. Analytiquement, comme la droite y -i-kz correspond à ^+A/^, on peut éliminer k et le lieu du point d'intersection sera j^z' =yz. De même, toutes droites menées par B et par C rencontrent les droites correspondantes sur les coniques fixes zx' — xz', xy' — yx^. La construction suppose donc que, outre les trois couples de points correspondants A, A'; B, B'; C, C, on nous donne trois coniques fixes qui passent chacune par un couple de

points correspondants; et la forme des équations — 7 =z— ^ =z -

montre que ces trois coniques ont aussi trois points communs. Pour construire le point du second système qui correspond à un point quelconque P du premier, nous mènerons donc la droite AP qui rencontrera la courbe jk-s' — yz au point F; AT sera la droite qui correspond à PA; si nous supposons de même que PB, PC rencontrent respectivement les coniques 5^ — xz'y xy — yx' aux points G, H; B' G, C'H seront respectivement les droites correspondantes. Les trois droites MF y B'G, C'H auront un point commun P' qui sera le point correspondant demandé de P. La droite qui correspond à une droite donnée quelconque s'obtiendra en construisant les points correspondant à deux points de la droite donnée.

327. Dans la méthode qui précède, la relation qui existe entre deux points n'est pas réciproque en général; c'est-à-dire que si P, point du premier système^ a pour correspondant le pointF du second, il ne sera pas vrai que F, considéré comme point du premier système, aura P pour correspondant dans le second. En effet, si nous considérons P comme appartenant au second système, nous construirons le point correspondant, en joignant P à A', B', G'; supposons que ces droites rencontrent les coniques respectives enF', G', H'-, alors PA', PB', PC auront pour correspondantes dans le premier système les

4l6 CHAPITRE YIII.

droites AF', BG', CH' qui se rencontreront en un point P' généralement différent de P.

Considérons cependant les trois points L, M, N communs aux trois coniques yz — z^^ z'x — a^z^ xfy — yx\ la construction montre qu'aux droites LA, LB, LC correspondront respectivement les droites LA', LB', LC. Il en résulte que les deux systèmes ont en commun les trois points L, M,N; chacun de ces points, considéré comme appartenant à Tun des systèmes, est lui-même son propre correspondant dans l'autre. De même, les droites qui joignent ces points sont évidemment les mêmes pour les deux systèmes. Si nous partons des points L, M, N considérés comme donnés, et si nous connaissons un seul couple de points correspondants, nous pourrons, en vertu du théorème du n° 325, construire immédiatement dans l'un des systèmes le point qui correspond à un point quelconque de Tautre système.

Si nous exprimons les équations en coordonnées trilinéaires, en prenant les trois droites LM, MN, NL pour droites de référence, les équations qui dans le second système correspondent à a: = 0,^ = 0, .5 = 0 du premier doivent encore représenter les mêmes droites ; elles ne peuvent donc en diiférer que par des multiplicateurs constants qui doivent être de la forme

Ix r= o, my — o, nz = o.

Donc, par un choix convenable des axes de référence, la correspondance homographique peut toujours s'exprimer sous une forme telle qu'un point {x'^y^j z!) du premier système ait pour correspondant le point {Ix'j my, nz') du second; et la transformation homographique s'effectuera alors en remplaçant respectivement dans l'équation de la courbe x,yyZ par Ixj my, nz. Nous ne pouvons plus poser ici

x' \y :z' — x:y:zy

TRANSFORMATION LINÉAIRE. l^ij

(Orame dans le n® B2i, parce que les deux figures seraient iJcnliques.

328. La méthode de projection est un cas de la transformalion homographique. Dans cette méthode, la droite qui joint deux points correspondants quelconques passe par un point iixe qui est le sommet du cône projetant et deux droites correspondantes quelconques se coupent sur une certaine droite (i\e qui est Tintersection des deux plans de section. Si l'un (les plans tourne autour de cette droite de manière à venir coïncider avec Taulre, les figures jouiront toujours de la propriété que la droite qui joint deux points correspondants passera par un point fixe. En efTet, si nous considérons les triangles formés par trois couples de droites correspondantes, les côtés correspondants se coupent sur une même droite; par conséquent, les droites qui joignent les sommets correspondants se rencontrent en un même point. Il est facile de former les équations les plus générales d'un pareil système. Soit ax-^by '{'CZ:=o Téquation de la droite sur laquelle se coupent les droites correspondantes; il est alors évident que les équations de x', ^', 5' ( les droites qui correspondent à j:, y^ z) seront de la forme

x' = a'x -{- by -h cz := o, y m a,r 4- b'y -h cz r=: o, z' ^=.ax H- ^/ 4- c'z ■=. o.

Ce système renferme trois constantes de moins que dans le cas général, et par conséquent il en contient cinq en tout.

Nous appellerons pôle du système le point où se rencontrent les droites qui joignent les points correspondants, et axe du système la droite sur laquelle se coupent les droites correspondantes. En retranchant successivement l'une de Tautre chacune des équations qu'on vient d'écrire, on verra que le pôle du système dont nous avons écrit les équations est dé- S. — Courbes pLmes^ 37

4l8 CHAPITAE VIII.

terminé par les relations

Les formes les plus simples des équations de la transformalion projectîve s'obtiennent comme il suit : Toute droite qui passe par le pôle reste la même dans la nouvelle figure; en effet, deux points situés sur cette droite auront pour correspondants deux points de la même droite. Si donc nous prenons le point xy pour pôle, les deux droites x^y ne seronl pas altérées parla projection ; une autre droite A:r -h B^-|-G3=o aura pour correspondante la droite Kx -h B/ + Cl^ = o et les deux droites se couperont sur l'axe fixe z — ^ = o. Toute droite Kx 4- B^ = o qui passe par le pôle ne change évidemment pas.

329. Réciproquement, si deux figures homographiqaes situées dans le même plan jouissent de cette propriété que des droites correspondantes quelconques se coupent sur un axe fixe, une des figures peut être considérée comme la projection deTautre. Faisons tourner le plan de l'une des figures autour de l'axe et considérons trois couples de points correspondants A, B, C, a, ft, c, les côtés correspondants des triangles qu'ils forment se coupant en L, M, N. Lorsque le plan tourne, A a, B 6 doivent encore se couper (puisque les droites AB, ah se rencontrent en N et sont par conséquent situées dans le même plan); et d'après la théorie des transversales, Aa prolongé est coupé par B6 dans le même rapport qu'avant que les figures se soient déplacées. On voit de même que Ce et la droite qui joint un autre couple de points correspondants rencontrent A a au même point.

330. La méthode générale de transformation homographique contenant trois constantes de plus que la méthode projective, il semblerait à première vue qu'elle constitue un instrument de recherche plus puissant, et nous pourrions nous attendre

TRAlfSPORMATIOX LINËAIRE. 419

à arriver, avec son aide, à des extensions de théorèmes connus plus générales que celles que nous a données la méthode de projection. 11 est évident, cependant, que si une figure était transportée tout d'une pièce dans une autre position quelconque, cette opération nous fournirait une transformation linéaire, dans laquelle chaque droite de la première figure aurait pour correspondante une droite de ia seconde figure, mais qui ne nous donnerait cependant aucune propriété géométrique nouvelle. Nous devons à Magnus cette remarque, que la transformation la plus générale peut être ramenée à une transformation projective, en faisant tourner la figure d'un angle donné et la transportant parai- (élément à elle-même d'une longueur donnée suivant une direction donnée; ces trois dernières constantes sont justement celles qui font paraître la transformation homographique plus générale que la transformation projective.

Pour démontrer cette proposition, nous devons d'abord faire remarquer que, si une figure éprouve une translation suivant une direction quelconque sans rotation simultanée, toutes les droites restent parallèles à leur première position ; par conséquent la position des points à l'infini n'éprouve aucun changement par le fait de cette opération.

Supposons maintenant que toute la figure tourne autour d'un point fixe ; un système quelconque de droites parallèles demeurera encore un système de droites parallèles, quoique ces dernières ne soient plus parallèles à leurs directions primitives. Tout point à l'infini reste donc à l'infini et par conséquent la droite de l'infini est la même pour la figure dans ses deux positions. Comme de plus un cercle restera un cercle, de quelque manière qu'on le fasse mouvoir, nous voyons que les deux points circulaires à l'infini ne changeront pas, quel que soit le mouvement de la figure.

Supposons donc qu'on demande de déplacer une figure de manière à la mettre en projection avec une figure homogra-

^•ao CHAPITRE VIII.

phique donnée; soient co, co' les deux points circulaires, o, o' les deux points correspondants de la seconde figure; comme aucun mouvement de la première figure ne peul changer la position de (o et co', la seule position possible du jiôle cherché pour les deux figures est le point \ où les droites oco, o'o)' se coupent. Supposons maintenant que la première figure ait été déplacée, de manière que le point / qui correspond à X coïncide avec lui. Faisons enfin tourner la première figure autour de /, de manière à amener m, ji (un autre couple de points correspondants) sur une même droite avec /, les deux figures seront en perspective et la droite qui j(»int deux autres points correspondants /z, v devra aussi passer par /; car le rapport anharmonique de (/.(oco'}jiv) = (/.oo'/;i/î) (n" 3!25) et, comme trois droites des deux faisceaux sont les mêmes, les quatrièmes droites de ces faisceaux doivent se confondre. Le théorème de Magnus se trouve ainsi démontré.

33i. Il n y a pas de difficulté à exprimer analytiquement la théorie géométrique du numéro précédent. Supposons qu'on nous demande de trouver les coordonnées du point / dans le cas de la transformation générale; il faut d'abord, d'après la théorie qu'on vient d'exposer, trouver la droite oto qui joint le point (:r -f- ej-, 5) à

Celle droite sera

(b^ — iai)[{ax -}- bf -^ cz)-{- i{axx -{- biy -^ c^z)]

— [ârj4-^-f- «(61 — a)](a,^-+- b^y-^CiZ)=zo ou

-^(abt — aib)f'^{Cibi—biCt)z-\-{act — cai)z]-o, La droite qui joint <o',o' ne dirtérera de celle-ci qie parle

ÉClIANaB ENTRE LES COORDONNÉES DE DROITE ET DE POINT. ^21

signe de ia quantité qui multiplie i. Le point cherché est donc l'intersection des deux droites que Ton obtient en égalant séparément à zéro la partie réelle et la partie imaginaire de Téquation.

Il n^est pas nécessaire de nous appesantir sur les cas particuliers de la transformation linéaire, par exemple sur le cas delà similitude. Nous mentionnerons seulement un genre de relation homographique dans lequel Taire d'une portion quelconque d'une figure est égale à celle de la portion correspondante de Tautre figure. On voit facilement qu'une pareille transformation est possible. En effet, supposons que le triangle formé par a:, y, z soit égal à celui que forment x',^, z'; si nous prenons un point O sur la première figure, il est facile de déterminer un point correspondant o sur la seconde, de manière que Ox^ = ox' y\ etO jrs = ox^£ et que par conséquent Oyz = oj^^'. Le triangle formé par trois points quelconques O, P,Qsera égal au triangle formé par opq^ qui sont les points correspondants ainsi déterminés.

Cette sorte de relation homographique diffère de la projection orthogonale comme la relation générale de collinéation diffère de la projection en général.