ûrî H-cJ-h2ajC|— 4âriCj)|x

■+• (4^i<i3 4-4^iCi — 2cr,6, — 2a,c, — 2^,ôj — a6iC,)vX -f- 6J -H 2a,^, — 4«i ^î)^'

-|-(4û^jCj-h4^1^8 — 2CiC, — 2rt3^j — 2Ci^3— 2C,a,)X[l=:0.

L'enveloppe est donc une conique que nous appellerons la conique polaire et qui est aussi la même, que les droites appartiennent au premier ou au second système.

Si nous nous servons maintenant des mots de pôle ei polaire pour exprimer le genre de correspondance que nous considérons ici, nous avons immédiatement la polaire d'un point situé sur la conique pôle. En effet, de ce point menons deux tangentes à la conique polaire : l'une d'elles est la polaire quand le point est considéré comme appartenant au premier système ; l'autre est sa polaire quand il est considéré comme faisant partie du second.

Réciproquement, nous pouvons trouver le pôle d'une tangente à la conique polaire. Nous n'avons qu'à prendre les deux points où cette droite rencontre la conique pôle; Tun de ces points est son pôle dans le premier système et l'autre son pôle dans le second.

Supposons maintenant qu'ils'agisse de trouver la polaired'un

point quelconque O. Menons de ce point deux tangentes Oïi, OT2 à la conique polaire. Supposons que 0T| rencontre la conique pôle en A», A2, et que OTa la coupe en B|, 82- Si

ÊCIIANGK ENTHE L123 COORDONNÉES DE DR.OITE ET DE POINT. Z|20

alors Aj est le point du premier syslème qui correspond àOT| et B| celui qui correspond à OT2, A,Bj est évidemment la droite du premier système qui correspond à O considéré comme appartenant au second système. Deméme AsBj est Tautre polaire de O.

Inversement, pour trouver le pôle d'une droite donnée qui rencontre la conique pôle aux points A, B, nous mènerons de ces points les tangentes AP,, AP2, BQi, BQ2 à la conique polaire; et si AP|, BQi sont les droites du premier système qui sont les polaires de A, B, leur intersection donnera le point du premier système qui est le pôle de AB. Et de la même manière, l'intersection de AP^, BQ2 donnera le point du second système qui est le pôle de AB.

Le lecteur verra facilement comment ces constructions se ramènent aux polaires réciproques ordinaires, si «2=^0 6j== e2, Cl = «2. Les coniques pôle et polaire coïncideront alors, la polaire d'un point sur cette conique sera la tangente en ce point; la polaire d'un autre point quelconque sera la même pour les deux systèmes, ce sera la droite qui joint les points de contact des tangentes menées du point à la conique.

336. Il résulte immédiatement de ces principes que, dans le cas général, la conique pôle et la conique polaire ont un double contact l'une avec l'autre. En eiTet, prenons un point d'intersection de ces deux courbes; ses deux polaires coïncident avec la tangente en ce point à la conique polaire, les deux pôles de cette droite doivent donc coïncider, et par conséquent les deux points où elle rencontre la conique pôle doivent se confondre; la tangente à la conique polaire en ce point d'intersection doit donc aussi être tangente à la conique pôle. Même démonstration pour l'autre point d'intersection. M. Cayley l'a également prouvé analytiquement en montrant que, si U = o est l'équation de la conique pôle, celle de la

4^6 CHAPITRE YIU.

conique polaire (qui se trouve en remplaçant \ |jl, v parleurs valeurs dans Téquation du numéro précédent) peut être mise sous la forme

[j7(a, /?3 — «3^1 + tijCi — a, c,) -4-^(6,0, — ft|C, 4- ^jflfj — ^jflj) H- 5 ( Cj «2 — c, aj -h Cl ^3 — c, ft , )]' -+- 4 U [«1 ( C3 ^3 — i>j rj )

-+- ^'2(^1^3— ^3^1)4- a^ibtCi — ^|Cj)] = o.

Cette forme montre qu'elle a un double contact avec U.

337. Il y a, dans le cas général, trois points dont les polaires sont les mêmes par rapport aux deux systèmes. Supposons eti effet que dans chaque système les équations des polaires soient