TRANSFORMATION D'UNB COURRE DONNÉE

363. Nous démontrerions, comme dans le n® 361, que si nous transformons une courbe S du m'*"* ordre à l'aide de la transformation ^ : y : -s' = U : V : W, dans laquelle U, V, W sont des fonctions du jd»^'»« ordre, comme les points où une droite arbitraire rencontre la transformée correspondent aux points où aU -|- P V + yW rencontre S, Tordre de la courbe transformée est mp — a, — 2a2, ... ; ici a,, aj, ... représentent les nombres de points simples, doubles, etc., communs à U, V, W et qui sont aussi situés sur S. Cherchons maintenant comment, par cette transformation, nous pouvons abaisser autant que possible Tordre de la courbe transformée. Nous voyons, comme dans le n° 353, que U, V, W peuvent être assujetties à satisfaire à deux conditions de moins qu'il n'en faut pour déterminer une courbe d'ordre /?, c'est-à-dire à^/?(/>-f-3) — a conditions; et nous disposerons évidemment de ces conditions de manière à réduire le plus possible Tordre de la courbe transformée si nous faisons passer U, V, W par autant de points doubles de S que cela sera possible. Soit D le genre de S, le nombre de ses points doubles est en conséquence ^{m^ — 3 m) — D -h i ; prenons en premier lieu p=:m — I ; dans ce cas, nous pouvons faire passer U, V, W par ^{m^ -\- m) — 3 points. Nous pouvons donc faire passer les courbes par tous les points doubles et par 2 m + D — 4 autres points de S. Si donc nous posons ai = 2m + D — 4» a2 = ^(m2 — 3m) — D -h i,/? = m — 1 , nous trouverons que Tordre de S' est mp — a, — aao = D + 2.

Supposons maintenant p ^ m — 2, ce qui implique évidemment que m est plus grand que 2. En procédant comme ci-dessus, nous voyons que nous pouvons prendre

04=|(m* — 3m) — Dh-i, «j =i m -h D — 4

et que Tordre de la courbe transformée sera encore D -f- 2. Enfin admettons que /? = m — 3 ; nous pouvons prendre X2 = ^(m^ — 3m) — 0-hi, ai = D — 3, pourvu toujours

46o CHAPITRE VIII.

que D soit plus grand que 3, et nous trouvons que l^ordrede la courbe transformée est D-i-i. La courbe transformée a, comme nous l'avons démontré, le même genre que la courbe primitive; il s'ensuit alors qu'une courbe d'ordre m et de genre D, ou qui a ^(iw^ — 3m) — D + i points doubles,*peut se transformer en une courbe d'ordre D + a, de genre D, c'est-à-dire qui a ^(D^ — D) points doubles; ou bien, quand D est plus grand que 2, en une courbe de l'ordre D -f- 1 avec *(D2 — 3D) points doubles.

Ainsi, en particulier, une courbe peut être transformée comme il suit :

Si D = o, en une conique (*).

D = I, en une cubique.

D = 2, en une quartique avec un nœud.

D r= 3, en une quartique.

D = 4i 61^ une quintique avec deux nœuds.

D ^ 5, en une courbe du 6« degré avec 5 nœuds.

D = 6, en une courbe du 7® degré avec 9 nœuds.

D = 7, en une courbe du 8* degré avec i4 nœuds, ou une courbe du 6* degré avec 3 nœuds.

336. Nous n'avons pas besoin de nous arrêter au cas des courbes unicursales. Ici D = o et la courbe transformée esl une conique; les coordonnées cc'^y'^ 5' peuvent, comme on le sait, être exprimées sous forme de fonctions du second degré d'un paramètre 8; les coordonnées x^ y^ z^ qui sont exprimables sous forme de fonctions rationnelles de x\ y,

(*) Bien que la méthode qu'on vient d'exposer transforme le cas D = 0 en une conique seulement, la transformation crémonienne permet de transformer encore la conique en une droite.

Pour plus de détails, voir Ju.ng et Armenante, Giornale de BaUaglini, l. VII, p. 235, et Brill et Noetoer, Mathemat. Annalen, t. VII, p. 298.

TRANSFORMATION D'uNE COLRBE DONNÉE. 46l

z y peuvent donc être exprimées sous forme de fonctions rationnelles de 0.

Considérons maintenant le cas D = i. Ici la courbe transformée est une cubique et il faut remarquer que, de quelque manière qu'on effectue la transformation, la cubique résultante aura toujours le même invariant, c'est-à-dire que le rapport anharmonique des quatre tangentes menées d'un point de la courbe sera le même (n** 229). Quand D = i , les coordonnées d'un point quelconque de la courbe peuvent s'exprimer en fonctions rationnelles d'un paramètre 0 et de y^B, où 6 est une fonction du quatrième degré de 0. Il suflGt de démontrer cette proposition pour le cas d'une cubique, puisque jc,r, 5 peuvent s'exprimer comme fonctions rationnelles de j:*, y, y; et pour le cas d'une cubique, ce résultat se voit immédiatement en prenant cette courbe de manière qu'elle passe par le point xy^ en posant dans l'équation y = 0 j?, ce qui permet d'obtenir immédiatement les rapports x\y\z sous la forme en question. De plus, il est bien évident que les valeurs de 0 pour lesquelles B = o sont précisément celles qui correspondent aux quatre tangentes menées de xy à la cubique.

Nous avons vu de cette manière que les coordonnées d'un point d'une courbe pour laquelle D = i peuvent s'exprimer sous forme de fonctions rationnelles de 0 et de ^; et par une transformation linéaire de 0, c'est-à-dire en remplaçant (

par une fonction convenablement déterminée — r ^,9 nous

c6 H-rf

pouvons mettre \J% sous la forme \j{\ — 6'')(i — ât^Ô^). Si nous posons 0 = sinamf/, cette quantité est cosamt/Aami^ et nous pouvons dire que les coordonnées d'une courbe dont le genre est i peuvent s'exprimer sous forme de fonctions elliptiques d'un paramètre u.

367. Il existe une théorie semblable pour le cas où le genre est égal à a et où, par conséquent, la courbe est réduc-

tible à une quartique nodale. Si nous prenons le nœud de la quartique pour le point xy et si nous posons J»' = Ox, nous pouvons exprimer immédiatement les rapports x\y \ z sôus forme de fonctions rationnelles de Q et ^, B étant maintenanl une fonction du sixième degré en 0; ceci équivaut à dire que les coordonnées sont exprimables comme fonctions hyperelliptiques de première espèce d*un paramètre e/. Pour des valeurs plus élevées de D, les coordonnées sont des fonctions irrationnelles d'un paramètre, et ce n*eslque dans des cas particuliers qu'elles peuvent être exprimées au moyen de radicaux.

368. Avant de quitter cette partie du sujet, nous devons indiquer une autre méthode à Taide de laquelle on peut étudier le même problème. Nous pouvons partir des équations qui lient les coordonnées (^, JKi 2) et {x\ y, -5'). Supposons que ces équations soient A = o, B = o, C = o et que chaque équation soit homogène en xyz et x!y 2!^ et ait par rapport à ces variables les ordres a, è, c; a\ b\ d respectivement. Si entre ces trois équations nous éliminons {x',y^ V), nous obtenons une équation S = o de l'ordre aè'c' 4- bda^ -{-cciV en xyz, et si nous éliminons xyz^ nous avons une équation S' == o, de l'ordre a^ bc -4- b'ca + dab en x^yz!. Les conditions S = o, S' = o doivent être satisfaites pour que les équations A =0,6=0, G = ©puissent coexister; mais, pour touU système de valeurs {x^y, z) vérifiant l'équation S = o, nous pouvons trouver un système correspondant de valeurs de x^z^ qui satisfasse aux équations A = o, B = o, C =: o, et par conséquent à S' = o. On peut chercher le nombre de points doubles de la courbe S parles méthodes exposées AdXïsV Algèbre supérieure^ et le résultat que j'ai obtenu est le suivant :

{b' c' {b' c' — i)a} ^\d a' (c' a' --i)b^^\a' b' {a' V -i)c^ -u[(a'ô' — i)(c'a'~i)-î(a' — i)(a'— 2)]fec -t-[(6'c' — i)(a'fe' — I) — i(^-i)(6'— 2)]ca 4-[(c'a' — i)(6'c' — I) — i(c'-i)(V — 2)iaZ>.