COORDONNÉES DE POINT
1. Le plan renferme une droile toute spéciale, la droite de l'infini; sur celle-ci sont situés deux points particuliers (imaginaires) : ce sont les points circulaires à Tinfini. Un théorème de Géométrie peut n'avoir aucun rapport avec cette droite et ces points : on dit alors qu'il est descriptif; dans le cas contraire, il est métrique,
2. Les coordonnées dont on fait usage pour déterminer la position d'un point dans un plan sont les coordonnées cartésiennes (rectangulaires ou obliques) ou les coordonnées trilinéaires ; ces dernières comprennent toutefois les premières comme cas particulier. D'une manière générale, nous pouvons dire que les coordonnées cartésiennes (rectangulaires) sont celles qui se prêtent le mieux à la discussion des propriétés métriques; tandis que les coordonnées tri-
(*) Ce Chapitre a été rédigé par M. Cayley.
S. — Courbes planes. i
linéaires convîennenl mieux à Tétude des propriétés descriptives. Cependant, quand il s'agit de propriétés métriques, il y a souvent un avantage sérieux à employer la notation des coordonnées trilinéaires; l'équation d'une courbe affecte alors la forme d'une équation homogène en {^,y, z), dans laquelle œ, y sont les coordonnées rectangulaires ordinaires et où z est égal à l'unité. Il convient d'étudier avec quelques détails la théorie des systèmes de coordonnées dont il vient d'être question.
3. Les coordonnées trilinéaires, telles qu'on les a définies dans les Sections coniques (n" 62), sont les distances perpendiculaires (/?, q^ r) d'un point à trois droites données ; on admet que ces droites constituent un triangle (c'està-dire que deux d'entre elles ne sont pas parallèles). Si l'on appelle a, b^ c les côtés de ce triangle, A son aire, et si Ton convient de plus de regarder les coordonnées (/?, q^ r) comme positives quand le point est dans Tintérieur du triangle, les coordonnées (/>, gr, r) vérifient la relation (Sections coniques^ n® 63)
a/> -H 6çr 4- cr = 2 A.
Cette relation permet de rendre homogène une équation qui ne l'était pas primitivement; nous supposerons toujours cette opération effectuée et, par le fait, les équations dont nous nous servirons seront toujours homogènes.
4. Jl est toutefois avantageux d'avoir une définition plus générale des coordonnées trilinéaires; ainsi, sans fixer aucunement les grandeurs absolues des coordonnées (^,j>', z),nous pouvons les prendre égales à des multiples donnés {^p^^qj^r) des coordonnées trilinéaires primitives (p, q, r). Si l'on remarque que la distance d'un point à une droite mesurée suivant une direction donnée est un multiple donné de la perpendiculaire abaissée du point sur la droite, on peut
GOORDONNÉBS. 3
donner à la définition les diverses formes qui suivent et qui ont le même degré de généralité : les coordonnées trilinéaires (^,JK, z) d'un point du plan sont proportionnelles à des multiples donnés des distances perpendiculaires
des multiples des distances mesurées suivant des I ^^ nolnt
directions données l à trois
des multiples donnés des distances mesurées [ droites suivant une seule et même direction donnée. . | données, aux. distances mesurées suivant des directions
données
Les trois droites données, par exemple les droites^ == o, y=zo,z= o, sont appelées les axes de coordonnées, ou simplement les axes; et le triangle qu'elles constituent a reçu le nom de triangle fondamental, triangle de référence, ou simplement de triangle.
Remarquons que^ tant que les quantités {x,y, z) restent indéterminées, en ce qui regarde leur grandeur absolue, il ne peut exister de relation identique qui les lie les unes aux autres; et, comme les équations dont nous faisons usage sont nécessairement homogènes, elles expriment des relations entre les rapports mutuels des coordonnées.
5. Il n'y a pas, en général, d'avantage à fixer les grandeurs absolues des coordonnées; mais nous pouvons le faire, si nous voulons, et spécifier que les quantités {x^y^ z) seront respectivement égales à (a/?, ^y, yr). Dans ce cas, les coordonnées sont liées par la relation
ax by cz
cette relation sert à déterminer les grandeurs absolues des coordonnées {x, y^ z) d'un point particulier quelconque, quand leurs rapports sont connus.
Il est à peine nécessaire de faire remarquer que la distance d^un point à une droite est considérée comme changeant de signe, quand le point passe d'un côté à l'autre de la droite. On peut, pour chacune des droites, choisir à volonté le côté positif et le côté négatif; cependant il est commode, en général, de les fixer de telle sorte que pour un point situé à l'intérieur du triangle les rapports (xiy iz) ouïes coordonnées (Xy yy z) (quand ces dernières sont déterminées en grandeur absolue) soient positives.
6. Si nous choisissons les droites x= o, y=zo^z= o pour droites données, les valeurs des rapports x\y\z dépendent de celles des constantes implicites a, ^, y et par conséquent ne sont pas encore complètement déterminées; mais nous pouvons les fixer de telle manière que, pour un point donné, les rapports {x \y \ z) aient des valeurs données. Par exemple, si, pour le point dont les distances perpendiculaires sont /Pi, yi, Ti, ces rapports doivent avoir les valeurs données Xi\yi\z^j la détermination des coordonnées se trouve complète ; car nous avons
X\ Y\ Zé x\Y\ZT= — p:'^q:-^r.
Pi Çi^ ^
Nous pouvons aussi (ce qui revient à peu près au même) choisir nos coordonnées de manière qu'une équation linéaire donnée
\x -hBjH-C5=i:0
représente une droite donnée. Et en effet, si l'équation de la droite donnée en fonction des coordonnées (/?, q, r) est
a/? 4- b^ -h c r = o, nous auroïis les relations
. . abc
En général, il n'y a pas avantage à faire usage des équalious que nous venons d'écrire ; le procédé le plus commode consiste à considérer les coordonnées comme fixées de telle sorte que le point (i : i : i) soit un point donné de la figure, ou que la droite
soit une droite donnée de cette même figure.
7. Il faut remarquer que nous pouvons, sans incorrection, parler du point (a, P, y); nous entendrons par là le point dont les coordonnées ont leurs rapports mutuels x\y\z égaux à a : P : y. Et quand nous dirons que les coordonnées d'un point sont (a, p, y), ou que les (^Xyy^z) sont égaux à (a, p, y), nous ne ferons qu'exprimer la même chose; c'està-dire que nous ferons seulement connaître que les rapports de ces quantités sont égaux, pour la raison toute simple que les grandeurs absolues sont indéterminées. Ainsi, dans le numéro précédent, au lieu de parler du point (i:i:i) nous aurions pu dire le point (i , i , i).
8. Le point (i, i, i) et la droite x -i-y -f- 5 = o, ou plus généralement le point (a, p, y) et la droite
ODt, par rapport au triangle fondamental, une relation géométrique bien connue. Si le point en question estO {fig> 1), la droite correspondante LMN est celle qui joint les points d'intersection des côtés du triangle fondamental ABC avec les côtés du triangle DEF; ce dernier est formé par les points où les droites, qui joignent O aux sommets du triangle ABC, reDcoDlrentles côtés opposés. Réciproquement, étant donnée la droite LMN, nous pouvons construire le point O en joi*
6 CHAPITRK I.
gnant les points L, M, N, où la droite coupe les côtés du triangle ABC, aux sommets opposés de ce triangle ; ces droites forment un nouveau triangle et les droites qui joignent ses sommets aux sommets correspondants du triangle
Fig. I.
fondamental se coupent au point O. Par le fait, le point et la droite sont des éléments harmoniques, et nous montrerons dans la suite qu^ils sont dans la situation de pôle et polaire par rapport au triangle considéré comme courbe du troisième ordre ou, comme nous pouvons le dire plus simplement, par rapport au triangle. Si donc Ton donne Tun des deux éléments, point ou droite, l'autre est connu; et il revient au même de supposer que le point ( i , i , i) soit un point donné, ou que la droite
soit une droite" donnée.
Si nous regardons la droite x -\- y -^ z ■=z o comme une droite donnée, nous avons en tout quatre droites données; et si nous posons pour plus de commodité
(c'est-à-dire, si nous considérons w comme remplaçant — X — y — 2), les coordonnées se trouvent déterminées de
telle maaière que
a;=io, y^=Oy ^t=o, wz=o sont des droites données.
9. Les coordonnées peuvent être choisies de telle sorte que le point (i, i, i) soit le centre de gravité du triangle et que la droite
soit la droite à TinGni. Si nous nous reportons à Féquation
a/> -f- 6^ -h cr := 2 A,
ceci revient à supposer
X \ y \ z ^=i ap \ bq \ cr^
c'est-à-dire que, si nous joignons le point aux trois sommets, en divisant ainsi le triangle fondamental en trois triangles , les coordonnées Xj y^ z sont proportionnelles à ces trois triangles composants (ou, ce qui revient au même, chaque coordonnée est proportionnelle au quotient de la perpendiculaire abaissée du point sur un côté et de la perpendiculaire abaissée du sommet opposé sur le même côté). On peut remarquer que, si nous fixons les grandeurs absolues des coordonnées et si nous posons
ap hq cr
c'est-à-dire si nous prenons j?, y, z égaux aux rapports des triangles composants à la surface du triangle fondamental, la relation que vérifient les coordonnées est
10. Le triangle fondamental équilatéral constitue un cas particulier; dans ce cas, si :r, y^ z sont proportionnels aux
perpendiculaires abaissées d'un point sur les côtés du triangle de référence, le point (i, i, i) est le centre de figure et X -\^y -\- z = o représente la droite à l'infini. Si, pour fixer les grandeurs absolues, nous prenons {x, y, z) égaux aux perpendiculaires abaissées sur les côtés, et si de plus nous choisissons comme unité de longueur la perpendiculaire abaissée d'un sommet quelconque sur le côté opposé, les
coordonnées du centre de figure sont { â ' q ' à ) ^^ celles
d'un point quelconque sont liées par la relation
Dans le cas actuel, où le triangle fondamental est équilatéral et où X -hy -h z = o est l'équation de la droite à l'infini, les coordonnées des points circulaires à l'infini sont
et
(0 étant une racine cubique imaginaire de l'unité. En effet, six et Y sont des coordonnées cartésiennes (rectangulaires), si l'origine est placée au sommet (a? = 0,^^ = 0) du trianjle et si l'on compte les X suivant le côté :r = o, on a
Xv/3-Y ^2-Xv/3-Y
Mais, pour les points circulaires à l'inGni, X et Y sont infinis et X liz ïY = o (1 est égal à ^^ — i , comme d'habitude); par conséquent,
bi nous posons co = ï— > et par suite co* r- ^ -
celte suite de rapports équivaut à
