X -j-z=L mu —, — Y- m' V — — h m'w -j

ay dy dy ay

-^ mk «s 4- ni' B 1^, 4- m'C w,.

Comme Att2 + B(^a + Cw^ = o, cette quantité s*annule pour toutes les valeurs qui annulent m, Vy w, J, si /n = /n'=/n'. On verra de la même manière que les autres dérivées de J sont nulles pour le même point.

Si deux seulement des courbes sont du même degré, la Jacobienne est tangente à la troisième courbe au point coin-

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mun ; car l'équalion écrite ci-dessus, quand nous y faisons m =: m', devient

cii dk dB , de

dx dx 'dx dx

pour le point commun elle se réduit à xi^ =^{m" — /n)C^4 et nous avons de même

j:J,=(m' — m)G(^t, xiiz=i{m' — /n)Ccv,,

en sorte que

et

xsv^-\-- yiv^ -H 5iv, = o

représentent la même droite.

Si, dans ce cas, le point commun est un point double sur fVf il sera aussi un point double sur J et aura les mêmes tangentes que celles de la courbe w (*).

Les valeurs que nous venons de trouver pour J|, J^, J3 sont nulles quand iV|, (^27 ^s le sont. Si nous prenons de nouveau les dérivées et laissons de côté les termes qui sont nuls, parce qu'ils contiennent 11^ ^^,«^,1,3,, ou fv,, «^2? «'s» i^O"» avons

^J / ^A dB\ , ^

^5:^^ ^'^ ("' ^--^ "• dx) -('^^-'^)C^^n..

Mais, d'après les valeurs précédemment trouvées pour A et B, nous avons

et, en éliminant xyz entre les équations

XUi -4- JW, -h G//.: ^ o, X^i H- /Ç^, 4- 5(^, = o,

(*) Clebscb et GoRDAN, Abelschen FuncUon4n<, p. 6a.

5oo il vienl

ou

et Ton voit de la même manière que les autres dérivées secondes de J sont proportionnelles à celles de iv; autrement dit, les deux courbes ont les mêmes tangentes en leur point double commun.