I )R'î^(Q3) - 4 /i(/ï — I )HP

Si nous faisons usage de la valeur de Q4 obtenue en dernier

'eu et si nous nous servons des abréviations B pour ( u ) ©^ ^

p'.ur ( * J H, nous avons

-h2(/i' — /i)RAV(H) — R*A(*)4-4/i(/i — i)HA(r) -h4('i — i)(/i — 5)2aH — 4(/i — i)R^(aH) = 2(/i« — i3/i-hi8)HA2: — 2(/i* — 3/n-8)lA(H) -h4('i--3)RA(VH)— 4(/i — i)RV(AH) — R*A(*).

THfiORlB GÉNÉRALE DES COURBES. 4^9

Dans le cas particulier où /i = 5, il vient

Qî— 4'»Ha(2)— 36SA(II)

-h8HA(VH)— i6RV(aH)— R*A(4»).

Dans ce cas, nous avons aussi

Q^ = -36sA-h8RV(H)-R*<^,

Q,rr3~AH, Q,=.-ll.

Pour former la courbe bitangeatielle d'une quartîque, la quantité à calculer est

(27Q,Q,-5Q,Q,)« = 5(4Q§-9Q.Q0(5Qî-i2r)aQ,);

c'est une expression qui renferme a, ^, y au sixième ordre, et il faut prouver au moyen de l'équation de la courbe qu^elle est divisible par R*. Mais, en vertu d'une formule déjà obtenue, nous avons

4Qî-9Q.Qv = R*(4e-9H*).

Il est facile de démontrer aussi que 27Q2Q5 — SQsQ* et 5Q^ — i^QsQs sont chacun divisibles par R; mais je n'ai pas pu mener la réduction plus loin.

Nous avons montré ailleurs (Algèbre supérieure, n"* 295) comment tous ces calculs peuvent se faire au moyen des méthodes symboliques.

393. Une autre méthode (*) pour résoudre le problème des tangentes doubles est suggérée par la démonstration qu^on a donnée (n*** 183-235) que le point où la tangente à une cubique la rencontre de nouveau est déterminé par Tintersection de la tangente avec la droite xHi -i-yH^ + ^Hj = o. 11 vient à Tidéede chercher à calculer de la même manière Téquation d'une courbe de l'ordre n — a qui passe par les (/i — 2)

03 J'ai donné cette méthode dans le PhiloBophical Magazine, oct. i858, et dans ]e Quarterly Journal 0/ AfathematicSj toI. III, p. 317. Voir aussi les Mémorres de M. Cayley, Phil. Trans, (1859), p. igS/ct (1861), p. 357.

IQO CHAPITRE IX.

points où la langenle à une courbe de Tordre n la renconlre ù nouveau. L'équation de celle courbe tangenlielle une fois obtenue, si nous formons la condition pour que la tangente donnée lui soit tangente, nous aurons immédiatement Téqualion de la bitangentielle. La proposition que nous avons déjà démontrée relativement à l'ordre de la bitangentielle nous permeltra de voir quel doit être l'ordre de la courbe tangenlielle par rapport à x* y z* et aux coefficients. La condition pour que la droite Lj? 4- M^ -j- Nz soit langenle à une courbo de l'ordre (n — 2) est de l'ordre (n — 2)(n — 3) en L, M, N et de l'ordre a(/i — 3) par rapport aux coefficients de celle courbe. En conséquence, si les coefficients de la courbe tangenlielle contiennent a/, ^, 5' à Tordre p et les coefficients de la courbe originale à Tordre q^ la })ilangentielle doit être de Tordre (n — i)(/i — 5^)('* — 3)+ 2/?(/i — 3) en j^'^s'ci de Tordre (/i — 2)(/i — 3)-i-2y(/i — 3) par rapport aux coefficients de l'équation originale. Mais actuellement la bitangentielle est de Tordre (/i — 2)(n — 3)(/i 4- 3)enx'yv et de Tordre (/i -H 4)(/i — 3) par rapport aux coefficients de l'équation originale (n® 382). Il s'ensuit alors que /7 = 2(^—2), <y = 3, c'est-à-dire que la tangenlielle doit être de l'ordre 2(/i — 2) en o^y z* et du troisième ordre par rapport aux coefficients de l'équation originale. De plus, si nous savons que (^x\ y y z') est situé sur la Hessienne, la tangenlielle doit passer par [x\ ^, «') et, par conséquent, si nous remplaçons Xj^fZ par x', y , ^', la tangenlielle devra se réduire à H. Celle considération et la forme connue de la tangenlielle dans le cas de la cubique fait supposer que la tangentielle en général est la (n — 2)'^"' polaire de x^yzf par rapport à H ou A«~*H. En effet, c'est une courbe d'ordre convenable par rapporta x/*, à x^yzlf et aux coefficients, et elle passera par od y z^ quand ce point est situé sur la Hessienne. En conséquence, dans le prochain paragraphe, nous examinerons si la courbe A""* (H ) passe par les points où la tangente rencontre de nouveau la

THÉORIE GfilffiRÀLE DBS GOUBBES. 491

courbe; nous trouverons, il est vrai, que cette hypothèse est inexacte, mais notre mode de recherche nous conduira à la vraie forme de la tangentielle.

394. Prenons Torigine sur la courbe et Taxe des y pour tangente; et soit alors Téquation de la courbe

Il faut observer, et la remarque sera utile dans la suite, que les différentes polaires de l'origine, par rapport à la courbe, s'obtiennent en remplaçant n par n — i , n — 2^ • • • dans cette équation. Pour que la courbe puisse passer par les points tangentiels, son équation doit être telle qu'en y faisant^ = o elle se réduise à

î/l(/l — l)CoH 5 /l(/l — l)(/l— 9)é/o^-+- . .. = 0

Formons maintenant l'équation de la Hessienne; comme nous avons à trouver ses courbes polaires par rapport à l'origine, puis à y faire ^ = o, nous n'avons à nous occuper que des termes de la Hessienne qui ne renferment pas y. Les dérivées secondes de la courbe donnée sont

a=:Co+(/i — i)diiX -\-\{n — a)(/» — 3)eod?* + . 6 = Cî ■+-(/! — 2)ûf,j7-+-î(n — 2)(/i — 3)e,^*4-. ci=: ^(/i — 2)(n— 3)Coa:'4-.

f=Lb 4- (/i — 2)Cj j7-hî(/i— 2)(/i — 3)<ii;r*-i-. g=. {n — 2)cqX -i-\{n — 2)(n — Z)dQX^-\',

A = Cl 4-(/i — 2)û?, j? -h{(/i — 2)(/t — 3)e, a?*-+-.

On trouve facilement alors que l'équation de la Hessienne est

Ca6» + (/i~2)rfo6*'a?-h[i(/i — 2)(n — 3)^o^' + (/* — i)(/i — 2)Pk- + -l[(/i-2)(/i~3)(n-4)/o^'-H(/i-i)(/i-a)«Q

49^ CttAPlTAE IX.

dans laquelle nous avons posé, pour abréger,

2Q = doC\ — 2CoCidi -hcldt,

3R =: CoCfdQ — d^c\ -+■ 2eobci — aco^^i;

mais les valeurs actuelles de ces quantités n'ont rien à faire avec l'objet que nous avons en vue. Ce qu'il y a d'important, c*est de remarquer que l'équation se divise en groupes de termes ayant chacun pour coefîicient numérique la même fonction de n, en sorte que, si nous voulons former l'équation delà Hessienne de la première, de la seconde, . . . polaire delà courbe donnée par rapport à l'origine, nous n'aurons qu'à remplacer n par n — i, n — 2, ... dans l'équation ci«dessus.

La droite polaire, par rapport à l'origine, d'une courbe du n**"* degré Wo+Wi -*-. . . = 0 étant nuo -f- Wi=o, la droite polaire de Torigine, par rapport à la Hessienne qui est une courbe de l'ordre 3 (n — 2), est, d'après l'équation précédente, 3cg4- cIqX = o, avec un terme en y, étranger à la question actuelle; et comme cette équation ne contient pas n, nous voyons que la polaire d'un point de la courbe par rapport à la Hessienne de la courbe elle-même ou de ses courbes polaires rencontre la tangente en un point qui reste le même pour toutes les polaires. En effet, la polaire est dans tous les cas la même droite. Si /i = 3, ico + doX est le résultat qu'on obtient en faisant^ = o dans l'équation de la courbe, c'est-à-dire que la polaire par rapport à la Hessienne est la tangentielle, comme nous l'avons déjà vu.

L'équation de la conique polaire de l'origine par rapporta une courbe du n**"*® ordre est ^n(n — i)uo'\'{n — 1)^1 -|-Uj=o; et en conséquence la conique polaire par rapport à la Hessienne est

|(/i-2)(3/i-7)co6»-h(/i~2)(3/i-7)t/o^"^

+ [i('* — 2)(/i--3)eo^*-f-(/i-i)(/i — 2)P]j-* = o,

THÉOniE GÉNÉRALE DBS COURBES. ^QB

et il est évident à première vue que, dans le cas de la quartique, cette conit[ue polaire ne peut être la tangentielle, parce qu'elle contient le groupe de termes P qui n'entre pas d'une manière semblable dans l'équation de la courbe. Mais nous pouvons aisément former une équation qui ne renierme pas ces termes. Représentons par A'H=o l'équation que nous venons d'obtenir et soit A^H, la conique polaire par rapport à la Hessienne de la première polaire de l'origine; comme nous l'avons déjà vu, A^H se déduit de A^H en remplaçant n par n — i. Il est alors facile de vérifier que

(71 — 2)A*H —2 {n — 1 )A*H, =(/i — 3)6*[6co 4- l^d^x^e^x^].

Mais qaand la courbe donnée est du quatrième degré, le second membre est ce que devient l'équation de la courbe donnée quand nous faisons ^^ = o. Il s'ensuit alors que A* H — 3A^H| est la tangentielle cherchée pour laquartique.

On trouve exactement de la même manière que la troisième polaire de l'origine par rapport à la Hessienne est

; (3 /i — 6)(3 /i — 7)(3 n — 8)co 6, -h i (w — 2)(3 71 — 7)(3 /i — 8)e/p 6« j: -+-î(« — ^)('* — 3)(3/i — 8)eo6*^*4-(/i— i)(/i— 2)(3n — 8)Px« 4-i(/i-2)(/i-3)(/i-4)/o^»^»

et l'on obtient A'H|, A'Ha, ... en remplaçant n par(n — i), {n — a), • . . . Nous pouvons vérifier que

(/i — 3)(/i — 4)A'H — 2(/i— i)(/i— 4)A»Hi4-(/i — i(/i) — 2)AMI, =z 2(/i — 4)( loco 4- lodçiX -h 5eoX* -h/px,) ;

et si n = 5;.le second membre de l'équation est ce que devient l'équation primitive quand nous y faisons ^= o; en conséquence, il en résulte, comme plus haut, que l'équation de la tangentielle est

A'II — 4À3Hj4-6A»H,r=0.

494 CUAPITRE IX.

Si /i == 6, la langendelle est de môme

A*H — 5A*H|-+- ioA*H,=:o.

J'ai été ainsi conduit par induction à cette conclusion, que M. Cayley a vérifiée d'une mémo manière, que la tangenlielie est en général

A«-«II — (/i — I ) A«-«Hj +{ (/i — i)(/i — 2) A«-«H, — ... =0.

395. Il est facile d'établir la proposition que nous avoDs énoncée plus haut, à savoir que les droites polaires de l'origiDe sont les mêmes par rapport à la Hessienne et à la Hessiennc d'une quelconque des courbes polaires. Nous avons

dx da dx

ou, si nous emplo}rons les abréviations ordinaires, en remplaçant A par bc — /^, . . . , nous avons

dx\ dx^ dy^ dz* dydz dzdx axa y'

et nous trouvons des expressions semblables pour les dérivées par rapport à ^ et js. Il est bon de remarquer qu'on peut les

écrire sous la forme abrégée -7- = — TT' \ r/')' ^^^ dérivées

de la première polaire x'Ui -t-J^'Ua + «'Uj se déduisent des dérivées correspondantes de la courbe primitive en effectuant sur elles l'opération x^ ^ — ^^ d^'^ ^ T-'^ ** °®"* ^^™' plaçons xyz par x'yz'j cette opération revient à multiplier chacuù d'eux par les facteurs n — i , n — a, . . . . Mais, comme le même facteur numérique est commun à chaque terme dans l'expression de H|, il est évident que j? H i -f-jKHj -f- «Hs représente la même droite, que la polaire soit prise par rap- |>ort à la Hessienne de la courbe originale ou à la Hessienne

THÉORIE GÉNÉRALE DES COl'RBES. 4f 5

(le sa première polaire. Le même raisonnement s'applique aux autres courbes polaii^s.

Passons à la conique polaire. Si nous dilTérentions les équations que nous venons de donner pour H, • • . ^ les différentielles se composeront de deux groupes de termes : les différentielles prises dans Thypothèse où Â, B, C, ... sont constants, et les termes obtenus en différentiantces quantités. Sf, pour abréger, nous nous servons des lettres Ç, vi, Ç pour représenter les symboles de différentiation parrapportà ^, r, Zy nous avons

?MIz=$*(A?«4-Bt.' + ...)U

il est bien entendu que les accents, dans le dernier groupe de termes, peuvent être supprimés après le développement, le terme ÇÇ'aTi^Ç'* tenant, par exemple, la place de

La dernière équation peut être écrite sous la forme abrégée

Ainsi Téquation de la conique polaire d'un point, par rapport à la Hessienne, peut être mise sous la forme V + W = o; V représente un groupe de termes dans chacun desquels unr; dérivée quatrième est multipliée par le produit de deux dérivées secondes, et W un groupe où chaque terme renferme une dérivée seconde multipliée par le produit de deux dérivées troisièmes. Prenons maintenant la Hessienne de la première polaire ; comme on Ta énoncé plus haut, les dérivées secondes, troisièmes et quatrièmes sont alors respectivement multipliées par n — 2, n — 3, // — 4^ et le résultat est

496 CfiAPlTRB IX.

pour n = 4> il se réduit au dernier groupe de termes. L'équation de la tangentielle d^une quartique est évidemment alors de la forme V 4- Ar W = o, et elle peut être transformée en conséquence. Ainsi elle peut être mise sous la forme

( d d dy^,

L^équation de la courbe bitangenlielle s'obtient en formanl la condition pour que la tangente L^ + M^ + N^ soit tangente à la conique qu'on vient d'écrire; elle se composera évidemment de trois groupes de termes , puisque la condition pour qu'une droite soit tangente à S + ArS' est de la forme S -h Ar^ H- A/S' = o. La quantité qui correspond ici à 2 est le co variant appelé 6' ; et j'ai vérifié que les deux autres groupes de termes peuvent ainsi s'exprimer sous la forme 6 + ^ H <& ( ' ).

POLES ET POLAIRES

396. Il convient de réunir ici quelques propriétés de la Jacobienne d'un système de trois courbes, propriétés qui ont été énoncées {Algèbre supérieure, n**» 88 et 176) et çà et là dans ce Volume. La Jacobienne est le lieu des points dont

(*) J'ai essayé de même de former l'équation de la covrbe bitangentieUe d'une quintique en prenant, pour représenter la courbe dont l'équation rst donnée au n« 394, un covariant d'ordre convenable et tel que son terme absolu s'annule si l'axe des a? est tangent une seconde fois à la courbe donoéc. Par exemple, si<|' = 4d — 9H4>,

sont des covariants d ordre convenable. Bien que je n'aie pas réussi, il peut être utile de donner, à titre de renseignement, les valeurs que j'ai obteoiics

P0LB8 ET POLAIRES. 497

ics droites polaires par rapport aux trois courbes se rencontrent en un même point; son équation est

Nous avons vu (n^ 191) que la Jacobienne est lieu des points doubles des courbes du système

Si les trois courbes ont un point commun, il est situé sur la

dans ce cas, pour les covariants. On verra que nous pouvons, sans rien perdre en généralité, supposer c, et c, nuls. 11 vient alors

-^Z{2b'e^—bbcd^)xy H- 3(e>»e,— bcd^)y^

H-(3*V,— 39*ce,— 9^>ûf,cfj+9M;-t- i%c^d^)x^y -+- (— bbcfy— ia6rfgej-f- iibe^d^-h i8c'e,

-+■ licd^d^— i8cd;)ic*-h..., e=9fr»[(6*rf;-h66c»rf,)

'¥^{^b'd^,e^+ i2b^c^e,- 2Sb^cd.d^+ 3ï b'cd]^ Z^b^cidi)y

H-(2fr«rfo/o-+-4*'e;H-66'cV,

^h6d^cd^e^— l^Bb^cd^e^— loSô'c^c,— agSô'c^rforf,

4- 20gb^c^d\ -f-36e>c«rf») j?'H- .. . ], ♦ = 66j(6»e,+ 46»cd,) + a?(6»/,-8fr»ce,— 386c>d,)

H->'[*Vi-26»ce,H-276'(rfî-rf,rf»;-4i6cM3] -ha:'(— 126'c/, — iib^d^e^-h i2Ô*c,cf, -h66c'c,— i626crf,d,H- i686crf;—6c»rfj) +...;.

Parmi les quantités A, B, . .., les seules qui renferment des termes indépendants de a? et ^ sont A = ô*, F = bc. Si donc nous écrivons tout au long une quantité ^ de la forme 6 + ArH<l> et qu'elle soit

A -t- Bf,x 4- C^x ■+- Bo:f'4- ...,

le degré de ^ étant 22, le terme absolu dans le covariant A [-7^) -f- ... est

d^^ 6^ B; + 44 6c AB, et le terme absolu dans A ^-^ 4- . . . est 26' C,, -h \2bc B,.

S. — Courbes planes. 32

Jacobienne. En effet, des équations

œwi -h/Wj 4- 5«'s = ni'w

(où m, m', m" sont respectivement les degrés des trois courbes )y nous déduisons

que nous pouvons écrire

J X r=: m A w-H m' B :» 4- m'Cw.

Celte relation montre évidemment que J est nul pour toutes les valeurs qui annulent u, v, w.

Si les trois courbes sont de même degré, ce point commun est un point double sur la Jacobienne. En effet, en prenant les dérivées par rapport à x^ il vient

, cH d\ , ^B „ dC

J 4- ;r -j- = mu -î — \- m' V -i — j- ni" w -r-

dx dx dx dx