On peut observer, en ce qui a trait à ce sujet, que le

5o4 GBAPITRB IX.

tact-invariant d'une courbe et de sa Hessienne étant de l'ordre 3(/n — 2)(5/n — 9) par rapport aux coefficients de la courbe et de Tordre m{jm — i5) pour ceux de la Hessienne, cet invariant est de Tordre 6(6/w^ — i7/n-}-9)par rapport aux coefficients de la courbe originale. Quand m == 3, le tact-invariant est la sixième puissance du discriminant; et si nous supposons, en conséquence, que la sixième puissance du discrimant entre toujours comme facteur dans le résultat, il reste un facteur de Tordre 6 (w — 3) (3m — 2) qui, égalé à zéro, exprime la condition pour que la courbe ait un poiot d'ondulation.

Prenons encore la condition pour que la courbe, sa Hessienne et sabitangentielle aient un point commun; cette condition, étant respectivement des ordres 3(/n — 2)2(/?i* —9)7 /w(m — 2)(/n^ — 9), 3/n(/?2 — a) par rapport aux coefficients de ces courbes, est de Tordre

en fonction des coefficients de l'équation originale. Quand m = 4} C6t^ invariant paraît être la douzième puissance du discriminant multiplié par le carré de Tinvariant considéré en dernier lieu. Si nous supposons qu'on doive trouver les mêmes facteurs en générai, il reste un invariant de Tordre 3(m — 4)(3m'-f-5m* — 32m-f-i8), qui sera nul quand la courbe a une tangente inflexionnelle qui lui est tangente en un autre point quelconque.

401. De même que la Jacobienne est le lieu des points dont les droites polaires, par rapport aux trois courbes, se coupent en un même point, de même nous pourrions étudier le lieu des points où ces droites polaires se coupent; ou, ce qui revient au même, le lieu des points dont les premières polaires par rapport aux trois courbes ont un point commun. Nous nous bornerons au cas où les trois courbes sont les

POLES ET POLAIRES. 5o5

trois premières polaires d'une courbe donnée; dans ce cas, la Jacobienne est la Hessienne de la courbe et l'autre lieu que nous venons d^indiqueren est la Steinerienne (n° 70); la théorie que nous allons exposer est la généralisation de celle que nous avons indiquée pour la cubique (*) (n° 175).

A un point P de la Steinerienne correspond un point Q de la Hessienne; la première polaire de PaQ pour point double alla conique polaire de Q se compose de deux droites qui se coupent en P. Considérons deux points successifs de la Steinerienne (n° 178); l'intersection de leurs premières polaires sera alors le point Q compté deux fois et les points de contact de la première polaire avec son enveloppe. Ainsi la polaire, par rapport à la courbe, d'un point Q de la Hessienne est la tangente à la Steinerienne au point correspondant P. En particulier, si Q est un point d'inflexion de la courbe, sa polaire sera la tangente en ce point ; nous voyons ainsi que la Steinerienne est tangente aux 3 m (m — 2) tangentes stationnaires de la courbe.

402. Nous avons vu (n° 70) que les ordres de la Hessienne et de la Steinerienne sont respectivement 3 (m — 2) et 3(m — 2)^. La Hessienne n'a ordinairement pas de point double ; et par conséquent ses caractéristiques Plûckériennes sont

|xz=3(w — 2), 8 = 0, X=:o, V = 3(771 — 2)(3/n — 7), T = -3^(/n— i)(/n — 2)(/n— 3)(3m — 8),

Comme il y a une correspondance (i, 1) entre la Hessienne

( " ) Les principaux théorèmes de cette section ont été énoncés par Steiner dans un Mémoire lu à l'Académie de Berlin, i8'|8, et imprimé ensuite dans le Journal de Crelle, i854, t. XLVII. En ce qui concerne les cubiques, j'en avais donné la théorie dans la précédente édition de cet Ouvrage (i85a). Je ne connaissais pas les travaux de Steiner, que j'ai appris seulement par le Journal de Crelle,

5o6 CHAPITRE IX.

et la Steinerienne, les genres des deux courbes seront les mêmes. Nous obtenons ainsi la classe de la Steinerienne; en effet, une de ses tangentes qui passe par un point fixe M doit avoir son pôle sur la première polaire de M, et, comme il doit aussi se trouver sur la Hessienne, il doit être une des 3(/n — 0('^ — ^) intersections de ces deux courbes. Donc les caractéristiques de la Steinerienne sont

JX=:3(/71 — 2)', V ==3(/» — I)(w^ — 2), 0 = J ( /n — 2) {m — 3 ) ( 3 //i* — 9 /n — 5 ), y.=: i2{m — 2) {m — 3 ) , T=:: J(m — 2)(/rt — 3)(3/«» — 3/;i — 8), l=r3(/?l — 2)(4w — 9).

Un point est un point double ou un point de rebroussement sur la Steinerienne, si sa première polaire a deux points doubles ou un rebroussement. Donc les nombres 8 et x qu'on vient d'obtenir sont les nombres des premières polaires de la courbe donnée qui ont les singularités en question (voir n°399).

403. Si les deux premières polaires de deux points A, B sont tangentes en un point Q et ont PQ pour tangente, deux des pôles de la droite AB coïncident avec Q; et la première polaire d'un point quelconque de AB (autre que l'intersection de AB avec PQ) sera aussi tangente à PQ en Q. La première polaire du point excepté, ou de l'intersection de AB avec PQ, aura Q pour point double; Q sera un point de la Hessienne et P le point correspondant sur la Steinerienne. Donc la Steinerienne est l'enveloppe des droites dont deux pôles coïncident, et la Hessienne est le lieu de ces pôles coïncidents. Steiner a étudié l'enveloppe de la droite PQqui joint deux points correspondants P, Q, ou qui est la tangente commune des deux premières polaires qui sont tangentes entre elles. Comme dans le cas des cubiques (n® iT7), nous

POLES ET POLAIRES. 5oj

appellerons celte courbe la Cayleyenne{^). Elle a évidemment une correspondance (i ,i) avec la Hessienne et la Steinerienne et par conséquent elle est du même genre.

Pour déterminer sa classe, nous emploierons les principes établis n** 372 et Sections coniques, Appendice, à savoir que si deux points sur une droite, ou deux droites passant par un point, ont une correspondance (m, m'), il y aura m-\-m cas de coïncidence de ces points.

Considérons donc les droites qui joignent un point arbitraire M aux deux points correspondants P, Q. Comme la Steinerienne est une courbe de Tordre 3 (m — 2)^, si la droite MP est fixe, il y aura 3 (m — 2)* positions de P et autant de Q. De la môme manière, à une position quelconque de MQ correspondent 3(/n — 2) positions de P. Il y a donc 3(m — 2)* 4- 3(772 — 2) ou 3 (m — 0('^ — ^) droites qui peuvent être menées par M, et qui contiennent deux points correspondants P, Q; c'est par conséquent la classe de la Cayleyenne. Elle est évidemment tangente aux tangentes d'inflexion de la courbe donnée. Elle n'a pas d'inflexions et ses caractéristiques sont

jx=:3(m — 2)(5/n— II), v=:3(m— i)(/7i— 2), 8=z \{rn — 2)(5m — i3)(5/?i* — 19m -H 16), X = iS(m — 2) ('? m — 5),

T nr J(m — 2)'(m* --2/n— i), 1=0.

404. Les définitions déjà données peuvent être étendues plus loin, si l'on considère les points doubles non seulement sur les premières polaires, mais sur un système quelconque de courbes polaires. Le lieu d'un point, tel que sa polaire 6*^"* ait un point double, est une courbe de l'ordre 30(/n — 6 — 1)^ qui est la 8**"* Steinerienne; et le lieu du point double est

(*) M. Cayley l'appelle la Sieiner-Hessienne.

5o8 CHAPITRE IX.

alors une courbe de Tordre 36^ (m — 8 — i), qui est la 6* "^ Hessienne. Nous savons que, si la 6*^"® polaire d'un poinl P passe par un point Q, la (m — Q)»"^"® polaire de Q passe parP; et il est facile de voir aussi que si la 6* '"*® polaire de P a un point double Q, la (m — 8 — i)*'°* polaire de Q a un point double P. Donc la Q Steinerienne est la même courbe que la (m — 8 — i) Hessienne, et la 8 Hessienne est la même que la (m — 6 — i) Steinerienne. De la même manière, nous pourrions considérer la 8 Cayleyenne ou l'enveloppe de la droite qui joint les points correspondants sur la 8**"* Steinerienne et la 8**™® Hessienne; les trois courbes ont le même genre. Excepté dans le cas 8 = i , ces courbes ont été peu étudiées.

405. Nous avons considéré (n® 184) l'enveloppe des droites polaires, par rapport aune cubique, des points d'une ligue droite et nous l'avons appelée la polaire de cette ligne droite. De même en général, si un point P se meut sur une courbe directrice S del'ordre s, l'enveloppe desa 8*^"** polaire, par rapport à une courbe donnée U de l'ordre m, sera une courbe que l'on peut appeler la 8"""** polaire de S par rapport à U. Nous avons vu (n® 98) que l'on peut trouver l'enveloppe d'une courbe, dont l'équation contient comme paramètres les coordonnées d'un point mobile le long d'une courbe S, en considérant les paramètres comme des coordonnées et en exprimant la condition pour que la courbe mobile soit tangente à S. Donc la polaire 8*'"*® de S est aussi le lieu des points dont les polaires (m — 8) sont tangentes à S. Si nous employons l'expression (n** 97) qui donne l'ordre d'un tact-invariant, nous voyons que la 8**'"* polaire de S est une courbe de l'ordre 5(5-1-28 — 3) (m — 8); ce nombre diminue de a(m — 6) unités pour chaque point double et de 3(/n —8) pour chaque rebroussement ; et si la classe de S est 5', alors la 8'*^"* polaire sera de l'ordre

POLBS ET POLAIRES. 509

Elle sera de Tordre 0(2 s H- 0 — 3) en fonction des coefBcients de S.

En particulier, si 6 = i, l'enveloppe des premières polaires des points d'une courbe S est la même que le lieu des pôles des tangentes de S et son ordre est s! {m — i). Si dans ce cas 5=1, cet ordre se réduit à zéro, comme cela doit être, puisque l'enveloppe se réduit alors aux (m — i)* pôles de la droite S. En général, il est évident que chaque tangente double de S donnera naissance k {m — i)^ points doubles qui sont ses (m — i)^ pôles, et que chaque tangente stationnaire donnera (m — i)* rebroussements sur l'enveloppe. Nous avons donc pour la classe de l'enveloppe

ou bien, comme sf^ — s — 2t — 3 1 = 5, la classe de la première polaire est

(/n — i){fn — 2)5' -\- {m — i)'^.

Si 6 = m — I , l'enveloppe des droites polaires des points d'une courbe S, ou le lieu des points dont les premières polaires sont tangentes à S, est de l'ordre 5 (5 4-2/72 — 5) ou 5'-+- us {m — 2). Et comme le nombre de ces droites polaires qui passent par un point arbitraire M est le même que le nombre des intersections de S avec la première polaire de M, la classe de l'enveloppe est (/n — 1)5.

En général, le nombre des points doubles de la polaire 8'"'"^ de S est (m — 6)^ fois le nombre des polaires (m — i )'""'' d'un point qui sont deux fois tangentes à la courbe et le nombre des rebroussements est {m — 8)^ fois le nombre de ces polaires qui osculent la courbe donnée.

406. Si la 8""* polaire d'une courbe S est une courbe R, la (/n — Oy*™" polaire de R doit contenir, commepartie d'elle même, la courbe S. Ainsi, par exemple, si 6 = m — i, R est

5lO GHAPITRB IX.

l'enveloppe de la droite polaire d'un point P-qui se meut sur S ; mais comme le pôle de cette droite polaire peut élre non seulement le point P, mais (/n — i)^ — i autres points, il en résulte que, si nous cherchons le lieu des pôles des tangentes de R (ou, ce qui revient au même, l'enveloppe des premières polaires des points de R), nous obtiendrons la courbe S, avec une autre courbe qui est le lieu des points copolairesaveclespointsdeS, c'est-à-dire des points ayant les mêmes droites polaires. Dans ce cas, où 6 = m — i, nous avons vu que la classe de R est 5(m — i)^; par conséquent, (n° 40o) l'enveloppe des premières polaires des points de R est de Tordre s {m — i)*; ou, bien il y aura, en outre de la courbe S, une courbe compagne de l'ordre sm{m — 2). Nous avons vu que tout point de la Hessienne est un point où coïncident deux pôles d'une tangente à la Steinerienne; conséquemmenl les points où S rencontre la Hessienne seront des points de cette courbe compagne, qui en outre rencontrera S en \s{m — 2) (m — 3) couples de points copolaires. Si Q = I , R est le lieu des pôles des tangentes de S, et comme un point donné a une seule polaire, si nous cherchons l'enveloppe des droites polaires des points de R, nous devons retomber sur la courbe S, et il semblerait qu'il n'y a pas ici de courbe compagne. Il faut noter cependant que les tangentes communes de S et de la Steinerienne font partie de l'enveloppe. En effet, nous avons vu qu'à chacune de ces tangentes communes correspondent deux points coïncidents sur R et, par conséquent, quand nous employons la marche inverse, à ces deux points correspondront deux droites coïncidentes, dont chaque point a droit d'être regardé comme faisant partie de l'enveloppe. De plus la courbe S doit être comptée (m — i)^ fois dans l'enveloppe, parce que à chaque tangente de S il correspond (m — 1)^ pôles situés sur R, et, par conséquent, quand nous prenons réciproquement les polaires des points de R, chaque tangente de S est comptée (m — i)^ fois. Nous

CONIQUES OSCULATUICES. 5ll

avons vu que, si Tordre et la classe de R sont r et r , Tordre de sa {m — i)**""" polaire est r' 4- 2(m — a)/-;, mais

donc Tordre de la polaire est 3 (m — ^){^ — 2)5'-j-(m — 1)^5, ce qui s'accorde avec ce que nous avions établi ; car, la Sleinerienne étant de la classe 3 (m — ^)(^ — 2)? le nombre de ses tangentes communes avec S est 3(/n — i)('w — 2)3', Il doit exister une théorie générale pour la réciprocité quand R est la polaire 8*^'"* de S et S la polaire (/n — 6)""« de R; mais elle n'a pas encore été étudiée.

CONIQUES OSGULÂTRIGES.

i07. La forme d'une courbe dans le voisinage d'un point P de cette courbe est caractérisée par le cercle de courbure ; mais elle admet encore une autre définition. En efTet, si nous menons parallèlement à la taogente en P une corde infinitésimale QR et si la normale en P la rencontre en N, les arcs PQ, PR et les droites NQ, NR regardées comme des quantités du premier ordre sont égales entre elles; mais elles dilTèrent de quantités du second ordre; en particulier, NQ, NR dififèrent d'une quantité du second ordre; ou, ce qui revient au même, si L est le milieu de QR, la distance NL est du second ordre. Observons aussi que PN est également du second ordre ; donc Tangle LPiN ,

qui est égal à arc tang ( p^^ j > est en général un angle fini ; c'està-dire qu'en joignant P au milieu de la corde QR (parallèle à la tangente en P) nous avons une droite PL inclinée d'un angle fini sur la normale. Dans le cas du cercle, PL coïncide avec la normale; Tangle en question mesure donc la déviation de la forme circulaire ; nous pouvons l'appeler Vaberration de

5l2 CHAPITRE IX.

la courbure, et dire que la droite Pf.est l'axe d'aberration (').

Dans le cas d'une conique, l'axe d'aberration est le diamètre qui passe parP, et l'aberration est l'inclinaison de ce diamètre sur la normale. S'il s'agit d'une autre courbe donnée et si nous menons une conique ayant avec elle un contact ou une intersection quartiponctuelle en P, la courbe et la conique auront le même axe d'aberration; c'est-à-dire que les centres de toutes les coniques qui ont avec la courbe une intersectioa quartiponctuelle en P seront situés sur l'axe d'aberration de ce point. On déduit aussi de là que l'axe d'aberration deP et celui du point consécutif de la courbe se coupent en uo point, le centre (T aberration, qui est le centre de la conique ayant une intersection quintiponctuelle avec la courbe, au point P; cette conique est complètement déterminée parla condition d'avoir son centre en ce point, d'être tangente à la courbe en P et d'avoir en ce point une courbure égale à celle de la courbe.

Il est facile de démontrer que l'aberration au point P est donnée par la formule

tango = /?

où />, q^ r sont les dérivées première, seconde et troisième de y par rapport à x.

408. Remarquons que l'axe d'aberration est une droite qui a des relations avec la droite de l'infini, mais qui est indépendante des points ciiculaires à l'infini; c'est-à-dire que si, au lieu de ceux-ci, nous avons deux points I, J, la droite en question peut se construire au moyen de la droite IJ, sans faire usage des points I, J eux-mêmes; on choisit la corde QR

( ' ) Voir TiiA!«so?i Becherches sur la courbure des lignes et surfaces^ {Journal de Liouville, l. VI; i8'|i). Son expression déviation csi remplacée dans le texte parle mot plus caractéristique aberration

COMQUBS OSCCLATRIGES. 5l3

de manière qu'elle passe par l'intersection O de la tangente en P avec la droite IJ, et le point L est alors le conjugué haraionique de O par rapport aux points Q, R.

Le théorème qui apprend que les centres des coniques à intersection quartiponctuelle sont situés sur une droite peut être présenté d'une manière plus générale ; les coniques ont en effet une intersection quartiponctuelle les unes avec les autres; ou, ce qui revient au même, ce sont des coniques qui ont toutes quatre tangentes communes (la tangente en P comptée quatre fois); le théorème général est le suivant :

Dans le système des coniques qui sont tangentes à quatre droites, les pôles d'une droite quelconque par rapport aux différentes coniques du système sont situés sur une droite. Ce théorème est mieux c )nnu sous la forme réciproque : Si Von considère les coniques qui passent par quatre points donnés, les polaires d'un point quelconque par rapport à ces différentes coniques passent toutes par un seul et même point.

Dans le cas où les points circulaires à l'infini sont remplacés par une conique, il n'y a pas de théorie analogue pour l'aberration.

409. La recherche (n® 236) de l'équation de la conique à contact quintiponctuel en un point quelconque d'une cubique peut s'étendre aux courbes d'un degré quelconque. Soient S la conique polaire et T ]a tangente au point, Téquation d'une conique quelconque tangente au même point sera S — PT = o; P représente Ix -\' my -^ nz^ /, /n, n étant encore indéterminés. L'équation des droite$ qui joignent les intersections de la conique et de la courbe au point x'yy'^ z' s'obtient en remplaçant x, ... par aZ-f-Tv^, ... dans l'équation de chaque courbe et éliminant \ entre les deux équations. Le résultat de la substitution dans la première équation est

5l4 CHAPITRE IX.

et le résultat de la substitution dans la conique est

2(/i — i)T— P'T-!-X(S — PT);

en écrivant que cette dernière quantité est égale à 8T + ^Y, le résultat de Télimination de X entre ces deux équations devient divisible par T; le quotient est

V«-i---J6V'-*S-hA6«V"-»A»T— ... = o;

il représenle les 2{n — i) droites qui joignent le point arV^ aux 2(n — i) autres points communs à la conique et à la courbe. Pour que la conique ait un contact triponctuel avec la courbe, une de ces droites doit coïncider avec T, autrement dit Féquation doit devenir divisible par T; comme chaque terme, excepté les deux premiers, est divisible parT, la condition est évidemment 6 = a, et, comme

elle implique P'= 2(/i — a) (*). Introduisons celte valeur de 0 et effectuons la division par T', Téqualion se réduit à

__ pv«-« H- |Y»-» A» — |V«-*T A* -h . . . = o,

qui représente les un — 3 droites qui joignent le point jr'y aux autres points d'intersection de la courbe et de la conique. Le contact sera quarti ponctuel si cette équation est encore divisible par T, ou sifA' — PS est divisible par T. On obtient la condition pour qu'il en soit ainsi, comme dans le n° 382, en substituant dans cette quantité les coordonnées d'un point arbitraire de la droite T, à .savoir My — Njâ, iNa — L-jf? L fi — M a ; le résultat doit être identiquement nul ; et de cette

(•) Le problème qui consiste à trouver le cercle de courbure en un poini quelconque de la courbe est évidemment celui qui revient à décrire une conique à contact triponctuel et passant par deux points tixes.

CONIQUES OSCULATRIGES. 5l5

manière nous trouvons immédiatement que P doit être de la forme

2 / dll dll d{\\

où jjL reste encore indéterminé. Ainsi la corde d'intersection avec la conique polaire de toute conique quartiponctuelle rencontre la tangente au point fixe (mentionné n° 394) où la tangente rencontre à la fois la polaire cubique et aussi la droite polaire de x^y z par rapport à la Hessienne, soit de la courbe elle-même, soit d'une de ses courbes polaires.

Keprésentons par U la droite tj ( x ^ •"^'^ ^" ^ "TT )\

en admettant que nous ayons l'équation identique

A3^nS = JT,

et, en introduisant ensuite la valeur de P, §11 -t- [jlT, IVquatlon devient divisible par T et donne pour l'équation des in — 4 droites qui joignent a:', y\ z' aiix autres intersections de la courbe et de la conique,

(IJ -H P« — (iS) V«~» - i V'»-*A* -f.. . .= o.

La condition du contact quintiponctuel consiste en ce que cette équation doit être divisible par T, et nous déterminerons la valeur de (jl qui correspond à un tel contact en remplaçant Xy y^ z, dans les termes écrits ci-dessus, par My — N|3, \a — Ly, L^ — Ma. L'équation identique du n° 235 nous permet de voir ce qu'est J, et j'ai trouvé qu'en effectuant la substitution qu'on vient d'indiquer J devient

où s, R et J^(H) ont la même signification que dans le n*^ 380. Les résultats de la substitution dans S, P et A* sont Qo, r^. Qa

5l6 CHAPITRE IX.

et Q4 respectivement. Si nous faisons usage des valeurs du n« 390, il vient

fxH«=|[3(/i — i)(/i — 2)2H — 2(/î — i)R^(II)]

— 6(/i — 2)(/i — 3)2H-h4(« — 3)RiKn)— -^R'*],

d'où, en réduisant, |x = rjj(4B — 3H4>) et la conique

quintiponctuelle se trouve déterminée.

410. M. Cayley a poursuivi cette recherche pour savoir !|uelle condition doivent vérifier les coordonnées x\y, z'pour que le contact puisse être sextiponctuel (yoir Phil. Trans,, i865, p. 54s ). Cette étude est trop longue pour que nous la donnions ici ; le résultat consiste en ce que xy^z' doit vérifier l'équation

(m — 2)(i2/n — 27)HJ(U, H, *) — 3(m - i)HJ'(U, H, *)

Ici J représente la Jacobienne de ces trois fonctions, et J' signifie que, en prenant la Jacobienne, 4> doit être dérivé dans la supposition que les dérivées secondes de H, qui entrent dans l'expression de <I>, sont constantes. L'équation écrite ici représente une courbe de Tordre 12m — 27 dont les intersections avec U déterminent m(i2m — 27) points sextaxitiques.