DES STSTËHE8 DE COURBES

411. Le problème qui consiste à trouver combien il va de coniques qui puissent avoir un contact sextiponctuel avec une courbe donnée appartient à la classe des questions sur lesquelles nous avons fait quelques remarques, Sections

DBS 8TSTÈHB8 DB GOURBBS* SlJ

coniques, Appendice : Sur les systèmes de coniques assujetties à quatre conditions. Nous allons donner ici un peu plus de développement à la théorie indiquée dans cet Ouvrage. M. de Jonquières {Journal de Liouville, t. VI, 1861) a considéré les propriétés d'une suite de courbes du m'""* ordre, satisfaisant à 5m(/n-j-3) — 1 conditions, c'est-à-dire à une condition de moins qu'il n'en faut pour déterminer la courbe; cette suite de courbes est caractérisée par son indice N, où N est le nombre des courbes de la suite qui peuvent passer par un point arbitraire donné. Ainsi, si l'équation de la courbe, considérée au point de vue algébrique, contient un paramètre, N sera le degré où ce paramètre y figure. Chasles, dans des Communications insérées aux Comptes rendus, 1864-1867, sur le nombre des coniques qui satisfont à cinq conditions, a employé, au lieu de l'indice unique de M. de Jonquières, deux caractéristiques qui sont |jl, le nombre des courbes de la suite qui passent par un point arbitraire, et Y, le nombre de celles-ci qui sont tangentes à une droite arbitraire. Celte méthode est particulièrement commode, parce qu'elle donne des résultats symétriques dans le cas des coniques qui sont des courbes de même ordre et de même classe. Nous avons indiqué l'esprit de cette méthode {Sections coniques, loc. cit.); nous reproduirons ici quelques-uns des théorèmes en les établissant pour une suite de courbes d'ordre quelconque.

412. Le lieu des pôles d'une droite donnée par rapport aux courbes de la suite est une courbe de degré v. Car c'est évidemment le nombre de points où la droite elle-même peut rencontrer le lieu. L'enveloppe des polaires d'un point donné par rapport aux courbes du système est, de même, une courbe de la classe [jl.

Le lieu d'un point dont la polaire, par rapport à une courbe fixe (dont l'ordre et la classe sont m', n'), coïncide avec sa

5l8 CHAPITRE 1\.

polaire par rapport à une courbe du système, est une courbe de Tordre v -h (x(m' — i). En effet, pour déterminer combien il y a de points du lieu sur une droite donnée, considérons sur cette droite deux points A, A' tels que la polaire de A par rapport à la courbe fixe coïncide avec la polaire de A' par rapport à une certaine courbe du système; le problème consiste à savoir dans combien de cas A et A' peuvent coin* cider. En premier lieu, si A est fixe, sa polaire par rapport à la courbe donnée est également fixe; le lieu des pôles de cette dernière droite, par rapport aux courbes du système^ est de Tordre v, d'après le premier théorème; nous voyons ainsi qu'à une position quelconque de A correspondront v positions de A'. En second lieu, supposons A' fixe; comme ses polaires, par rapport aux courbes du système, enveloppent une courbe de la classe [x, et comme les polaires, par rapport à la courbe donnée, des points de la droite donnée, enveloppent une courbe de la classe w! — i (n° 405), il y a [jL(m' — i) tangentes communes aux deux enveloppes, et par conséquent autant de positions de A qui correspondent à A'. Donc le nombre des coïncidences des points A et A' est V -H |J^(/n' — i) : c'est le degré du lieu en question. Il est évident que ce lieu rencontre la courbe fixe aux points où les courbes du système lui sont tangentes, et par conséquent que le nombre de ces courbes qui sont tangentes à la courbe fixe est m\y -f- |i(/n' — i)] ou m'v -h /i'|jl.

413. En général, le nombre des courbes du système qui satisfont à une autre condition quelconque sera de la forme [jLa 4- v8 et les nombres a, ^ peuvent être considérés comme les caractéristiques de cette condition. Si une courbe est définie par un nombre sufQsant de conditions de nature quelconque, et si ces caractéristiques sont données pour chaque condition, nous pourrons déterminer le nombre de courbes qui satisfont aux conditions prescrites. Nous en don-

DBS STSTtVBS DE COURBES. Sig

Dons an exemple dans le cas des coniques. Le nombre des coniques déterminées par cinq points, par quatre points et une tangente, par trois points et deux tangentes^ etc., est

et conséquemment les caractéristiques des systèmes déter* minés par quatre points, trois points et une tangente, etc.^ sont

Le nombre des coniques qui satisfont à la condition dont les caractéristiques sont a, p, et qui passent aussi par quatre points, ou par trois points et sont tangentes à une droite, etc., sont

Si nous appelons ces nombres [jl"', v'", p"', <7'", x'" respectivement, nous voyons qu'ils ne sont pas indépendants; mais nous avons

Les caractéristiques des systèmes formés avec la condition a, P et trois points, ou deux points et une droite, etc., sont évidemment

(ix^ v-^), (v^ p-), (p*^, cr^), (^, T-),

et par conséquent le nombre des coniques de ces systèmes qui satisfont à une nouvelle condition a', ^' est [jL'"a' + v'",3', Va'-i- p'"P', .... Développons ces quantités : si nous avons deux conditions dont les caractéristiques soient (a, p),(a , ^') et si nous représentons par |jl", v", p'', (/ le nombre des coniques qui satisfont à ces deux conditions et qui passent aussi par trois points, ou qui passent par deux points et sont tangentes à une droite, etc-, nous avons

Hl'= aa'-H2(a?'-4-?a')H-4P?', v''=:2aa'-+- 4(?«'-HaP0 "^ 4?P', p' = 4aa' + 4(Pa'4-ap')-+-2p3', (i''r=4aa'H- 2(pa'4-ap') -H PP'.

520 CHAPITai IX»

et !1 est boa de remarquer que ces nombres sont liés parla relation identique

jx» — I v*" -1- I p' — a* =: o.

De la même manière, les caractéristiques du système de coniques qui satisfont aux deux conditions (a, ^), (a', ^')et passent aussi par deux points, ou qui passent par un point et sont tangentes à une droite, ou qui sont tangentes à deux droites sont ([x'^, V), (/, p"), (p"', <r"), et par conséquent les nombres de ces coniques qui satisferont à une troisième condition a", ^^ seront [x^a" -h V'^'', .... Si nous développons ces quantités et si nous représentons par [jl', v', p' le nombre de coniques qui satisfont aux trois conditions (a, ^), (a', §'), (a*^, P") et qui passent aussi par deux points, ou qui passent par un point et sont tangeutes à une droite, etc., nous avons

p' = 4 aa' a" H- 4 2 aa' p" -h 2 2 a?' ?'' -h 3^' ?'.

Il est évident que les caractéristiques du système formé en ajoutant à ces trois conditions une quatrième (a", P'^) sont [jL'a"'-j-v'p'", y'aL"'+p'p"\ ou bien, en les développant,

|x = aa' a'' a-^ H- a S aa' a" p*' -h 4 £ aa' p'' p'' -h 4 2 a?' 3^2'" -H 2 ??' 3' ?^ V =:2ax'a''a•'^-4Saa'a''p^^-42aa'P''P^^-22aP'p"p*'4-pp'?'3^

Et enfin, si nous ajoutons une cinquième condition, le nombre des coniques qui satisfont à toutes les cinq à la fois est jJLa"'4-vp"' ou

«a' a' a*' a" -h 2 2 aa' a* a'^ p«^ -H 4 S aa' a' p*' P" -+- 4 2 ««' P' P' ?"

^ 2 2 ap' p' p'^ p'^- -h pp' P" p'^ p»^

Celte formule donne le nombre de coniques qui sont tangentes à cinq courbes données, quand on remplace a, p, . . . par la classe et l'ordre de chaque courbe. Nous pourrions

DBS SYSTÈMES DB GOUEBBS. 5ai

trouver de même le nombre des courbes d^ordre quelconque, déterminées par la condition d'être tangentes à des courbes données, si nous connaissions le nombre qui se rapporte à chaque cas où les conditions sont seulement celles de passer par des points ou d'être tangentes à des droites.

414. Dans le numéro précédent, les conditions que nous considérions étaient indépendantes les unes des autres ; mais nous pouvons avoir une condition qui soit équivalente à deux ou plusieurs autres, conofme, par exemple, la condition qu'une conique soit tangente à une courbe donnée deux ou plusieurs fois, la condition qu'une courbe oscule une courbe ou ait avec elle un contact d'ordre supérieur. Une condition qui équivaut à deux conditions peut s'appeler deux conditions inséparables.

On trouve que les formules obtenues dans le dernier numéro pour des conditions indépendantes sont applicables, avec les modifications nécessaires, aux conditions inséparables. Si donc nous avons deux conditions inséparables, les caractéristiques jx", /, p*^, o^' sont le nombre de coniques déterminées en combinant avec la condition double donnée trois points, ou deux points et une droite, etc., et ces nombres seront toujours liés par la relation [jl" — jv^-hlp" — ff"= o. Nous procédons précisément comme dans le numéro précédent pour trouver le nombre de coniques déterminées par la coçibinaison de la condition double avec trois autres conditions. Nous obtenons de cette manière les formules qui suivent : si /w'', r? ^ r'^,5*' sont les caractéristiques d'une seconde condition double, les caractéristiques du système de coniques déterminées par le couple de conditions doubles sont

m' fi' — I ( jx" /i'' -t- m" v" )-H ( /•" (x^-^-p" /yi' )4- J «%'— i ( /•% ''h- /^'' p' ) , t/x'— |((TV4-^p')H-(v''5''-h/i'<i'')-+-^pV' — ;(p''/^'^-/•%''),

et si [i', V, p' sont les caractéristiques d*une condition triple,

5ilâ CHAPITRE IX.

le nombre de coniques déterminées par la condition double et la condition triple est

lHi'(2.'-p') + [p'(3,x'-v")4-,i,v'[5(,x'-hp')-a(HL^+c-)].

415. Revenons aux deux caractéristiques [jl, vd'un système de courbes du m**"* ordre qui satisfont à une condition de moins qu^il n'en faut pour déterminer chaque courbe; nous pouvons chercher comme il suit la relation entre ces deux caractéristiques. Considérons les points A, A' où une courbe du système rencontre une droite donnée; comme il passe par A]JL courbes de la série qui rencontrent chacune la droite en (m — i) autres points, il est évident qu'à chaque point A il correspond |x(/w — i) points A' et que de même à chaque point A' correspondent [/.(m — i) points A. Le nombre des points unis de la correspondance est donc 2[jL(m — i). Ce nombre sera v, si les points unis peuvent seulement exister quand une courbe du système est tangente à la droite AA'; mais il peut arriver qu'une courbe du système soit une courbe complexe contenant une portion de courbe comptée deux fois, et une courbe de cette nature donnerait naissance à des points unis qu'il faut déduire des 2[x(m — i) pour donner v, le nombre de tangences proprement dites. Ainsi» dans le cas des coniques que nous considérons spécialement, si X est le nombre des coniques du système qui se réduisent à deux droites coïncidentes, nous aurons v = 2[jl — \.

416. Une conique considérée comme courbe du second ordre peut dégénérer en (}eux droites, ou en couples de droites; dans ce cas, l'équation tangentielle trouvée par la règle ordinaire devient un carré parfait; autrement dit, géométriquement, toute droite menée par le point commun au couple de droites doit être considérée comme doublement tangente à la courbe. Semblablement une conique considérée comme courbe de la seconde classe peut dégénérer en deux

DBS STSTÈ31KS DB GOURBBS. 523

points ou en un couple de points, et tout point de la droite commune du couple de points peut être conisidéré dans un certain sens comme appartenant doublement à la courbe. Dans ce dernier cas, le Couple de points peut être considéré comme la limite d'une conique dont Taxe transverse est fixe et qui s'aplatit par la diminution graduelle de son axe conjugué, de manière à tendre vers un segment de droite; les tangentes à la conique s'approchent de plus en plus de droites passant par deux points fixes, à savoir les points qui terminent la droite; si donc X est le nombre des couples de points du système et tît celui des couples de droites, nous avons

jxz=:2v — W, v = 2pi — X, 3 |x =: 2 X -H w, 3'*=:2W-|- X.

Dans les recherches de Zeuthen relatives aux systèmes de coniques, les nombres X et tît sont substitués aux caractéristiques |JL et V de Ghasles; dans la plupart des cas, il est plus facile de déterminer le nombre des coniques d'un système donné qui se réduisent à un couple de droites ou de points, que le nombre de celles qui passent par un point arbitraire ou sont tangentes à une droite arbitraire.

Un cas spécial se présente quand les deux points d'un couple de points coïncident, la droite du couple continuant à exister comme droite bien définie ; ou bien les deux droites d'un couple de droites peuvent coïncider sans que leur point commun cesse d'exister comme point bien défini. Ceci peut s'appeler un couple de ligne et point.

417. Dans un système de coniques qui satisfont à quatre conditions de contact, il est comparativement iacile de voir quels sont les couples de points ou de droites du système; mais, pour trouver les valeurs de X et m, chacun de ces couples doit être compté non pas une fois, mais un nombre convenable de fois, et c'est dans la détermination de ces multipli-

5a4 CHAPITRE IX.

cités que consiste la difficulté du problème. Dans ce but, Zeutben emploie les considérations suivantes : Prenons le système élémentaire d'une conique déterminée par quatre points ; le nombre des couples de droites est évidemment alors 3 et celui des couples de points o. Mais, comme ^ = i , v = 3, nous avons X = o, tîj = 3 ; d'où Ton conclut qu'un couple de droites qui joignent deux à deux quatre points donnés compte une fois parmi le nombre des couples de droites. Prenons au contraire le système de coniques déterminé pat trois points et une tangente; nous pouvons avoir ici trois couples de droites qui sont : la droite qui joint deux quelconques des points et la droite qui joint le troisième point à rintersection de la tangente fixe avec la droite qui réunit les deux premiers points. Dans ce cas, il n'y a pas de couple de points. Nous avons [jl = 2, v = 4» d'où X = o, w = 6; il en résulte qu'un couple de droites compte pour deux, s'il se compose de la droite qui unit deux points donnés et de la droite qui joint un troisième point donné avec l'intersection de la première droite et d'une droite donnée.

Enfin, prenons le système de coniques déterminées par deut points et deux tangentes; il ne peut y avoir qu'un seul couple de droites, qui est le couple joignant les deux points à l'intersection des deux tangentes; mais comme, dans ce cas, [jL=4îp = 4»^ = '3j = 4î on en déduit que le couple de deux droites compte pour quatre quand il joint deux points donnés à l'intersection de deux droites données. Il n'est pas nécessaire de s'arrêter aux singularités réciproques.

Le mouvement d'une conique qui est tangente à une courbe donnée peut être considéré ou comme une rotation autour du point de contact, ou comme un glissement le long de la tangente en ce point. On conclut de là que,, dans le cas d'une conique déterminée par la condition d'être tangente à quatre courbes données, nous devons pour les couples de droites compter une fois (A') un couple se composant de deux droites

DES SYSTÈHE8 DE COURBES. 5a5

dont chacune est une tangente commune aux deux courbes; deux fois (B') un couple consistant en une tangente commune aux deux courbes et une tangente menée à la troisième courbe par le point où cette tangente commune rencontre la quatrième courbe; nous compterons quatre fois (C) un couple composé de tangentes menées à deux des courbes par Tintersection des deux autres. Réciproquement, parmi les couples de points nous comptons une fois (Â) une droite dont les extrémités sont chacune une intersection de deux courbes, deux fois (B) une tangente à Tune des courbes terminée d*une part par une autre courbe et de l'autre par un point d'intersection des deux autres courbes; et quatre fois (C) une tangente double à deux courbes, terminée sur les deux autres courbes. Dans ces cas, on peut à l'intersection de deux courbes substituer l'intersection d'une courbe avec elle-même, ou un point double, et à une tangente commune à deux courbes on peut substituer une tangente double d'une seule courbe.

418. Comme exemple, cherchons le nombre de couples de droites dans le systènie des coniques qui sont tangentes à quatre courbes données. Nous avons nn'rfn"^ couples de droites se composant d'une des nn! tangentes communes aux deux premières combinées avec une des n"n"^ tangentes communes aux deux autres ; et comme nous avons trois manières de former deux couples au moyen des quatre courbes, le nombre A est Znn'n" n'". Il y a encore nn'n" m'^' couples, se composant d'une tangente commune aux deux premières courbes et. d'une tangente à la troisième menée par un des points où la première tangente rencontre la quatrième courbe ; et comme nous avons le même nombre, en prenant une tangente commune à la seconde et à la troisième, ou à la première et à la troisième, il vient

lV=LZlnn'n''m''

SSÔ CHAPITRE IX.

couples de taDgentes du genre C Nous avons par conséquent

13=: Znn! n' n" -\- 6It nn' n' m" -i- ^Znn'm' m',

et de la même manière

X = ^2nn^ m' m' -+- 62 /im' m' m' -h 3 mm' m' m',

et de ces nombres on déduit pour |jl et v les mêmes nombres que ceux que nous avons déjà trouvés.

419. Nous procéderons de la même manière, si les conditions du problème consistent en ce que la conique doit être tangente à la même courbe plusieurs fois, ou avoir avec elle un contact dWdreplus élevé. M. Cayley emploie la notation suivante, qui est très commode, (i) représente un contact simple, (i, i) un contact simple avec la même courbe en deux endroits, ( 2) un contact du second ordre ou triponctuel, et ainsi de suite. Ainsi, le système que nous avons étudié, coniques ayant un contact simple avec quatre courbes, est représenté par (i), (1), (i), (i). Considérons maintenant le système (1,1), (i), (1), c'est-à-dire celui où les coniques ont un double contact avec une courbe et un contact simple avec deux, autres courbes. On voit précisément, comme ci-dessus, que

A' = T n' n" H- nn' nnf ;

nous avons aussi

B' = T ( n'm" -+- n^ m- ) -h nn'{m — 2 )/i' -h nn" (m — i)n' -\- nn! m'{n — i ) -h nn" m'(n — \) -^ n' n" m{n — 2 ),

C' rzzhn' n" -^ mm' {n— ^)n'

-^mm'{ff, — 2)/i'h- m'm'j/i(/i — i).

En dernier lieu, nous devons compter séparément (D') les y^n'n" couples de droites, qui se composent de couples de tangentes menées par chaque rebroussement de la première