X -H X' = — min. de (S 4- S

X — X' = max. de (S -h 2S') — max. de (S' M- 2S).

Les nombres s, s' ainsi choisis satisfont aux trois conditions requises.

Les nombres S et S' peuvent être tous pris positifs; si Ton figure chaque couple S, S' par un point dans un plan, en donnant pour abscisse et pour ordonnée à ce point S et S', l'ensemble des couples (S, S') est figurée par divers points. Traçons alors une ligne polygonale tournant sa concavité vers Torigine des coordonnées, ayant pour sommets des points (S, S') et laissant d'un même côté l'origine et tous les autres points. Les sommets de cette ligne polygonale correspondent aux divers couples (S, S') qui sont susceptibles de rendre maxima l'expression Sv + S'n. Le sommet qui, pour une

ÉTUDE SUR LES POINTS Sllf GULIRRS. 607

valeur donnée de -> fournit le maximum est l'intersection n

des deux côtés dont les inclinaisons sur Taxe des x comprennent entre elles Finclinaison dont le coeiBcient augulaire est

• Au cas où est le coefficient angulaire d'un côté du

polygone, les deux sommets de ce côté donnent tous deux le même maximum. C'est, comme on voit, la règle de Newton que nous appliquons ici. Le maximum de Sv + S' /i correspond à celui de. «v + s'n. Il résulte de cette analyse qu'on peutconstruire des covariants F pour lesquels l'application générale de la formule (27) oblige à distinguer, parmi les cycles d'une courbe, des catégories en nombre aussi grand qu'on voudra. Effectivement, prenons, en allant de l'axe des S vers Taxe des S^, les coefficients angulaires des côtés successifs de la ligne polygonale; soient pour ces coefficients, changés de signe^ les nombres positifs décroissants '^0^2,73,. • . correspondant aux côtés qui joignent les sommets successifs (SoS^),

(Si s;), (SaS;), (SjS;), .... Le maximum de ^ (*^ + ^'0 se composera des éléments suivants :

*o 51 '^ "^ ^0 2 '^^ ^^""^ ^^* cycles — > T|,

Ji \^ vj -h 5J \^ /Il pour les cycles ^i > — > x,>

5, V V, -1-5^ V /ij pour les cycles t, > — > x,,

et ainsi de suite. On peut cependant observer que les inflexions ordinaires et les rebroussements ordinaires donnent chacun un même élément, |c. Pour une courbe n'ayant que des singularités ordinaires, la somme considérée est donc f c(r4-p); d'ailleurs H est nul aussi dans ce cas, et la formule (a^) se réduit à trois termes a [ji 4- a'ni-r- ^c (r-h p).

6o8 APPENDICK.

48. De cette discussion résulte une conséquence importante : pour les questions où il s^agit de déterminer sur une courbe le nombre des points en chacun desquels a lieu une relation donnée entre les éléments infinitésimaux de la courbe au delà du second ordre, les points singuliers ne peu{>ent être représentés par des équivalents en nombre limité, et dont la définition soit indépendante à la fois de la question particulière et de la courbe quon envisage.

Mais, si Ton particularise la courbe en restreignant le nombre des diverses sortes de singularités qu*elle possède, on peut obtenir des formules générales, les mêmes pour tous les covariants différentiels. Si, par exemple, on n^accorde à la courbe que des singularités ordinaires, on aura pour tous les cas la formule (a4)* Mais, tandis que cette formule (a4) s^applique aux courbes quelconques, quand il s'agit de covariants du second ordre, elle ne s'applique plus qu'à des courbes particulières quand il s'agit de covariants d'ordre plus élevé.

Si même on veut se borner à des courbes sans rebroussement, on peut s'en tenir à la formule N==(0|ji + a>'m, qui est générale dans le cas où il s^agit de covariants du premier ordre, particulière quand il s'agit de covariants plus élevés. Mais cette dernière formule ne présente pas, comme lâ formule (a4)) l'avantage de contenir les singularités nécessaires^ c'est-à-dire celles qui existent forcément quand on envisage à la fois deux fçures corrélatives.

49. Ces formules, d'application restreinte, portent cependant en elles un renseignement précis. SI l'on envisage une courbe sans aucun point singulier, on peut appliquer la seconde formule N = (i)[jl -^- w'/n. Mais, en ce cas, on a jji=: m{m — i).DoncN= /n((i)/w-Hco' — oj). Les points, dont cette formule donne le nombre, sont les intersections de la

fiTUDB SUR LES POINTS SI>'GLLIERS. 609

courbe, du degré m, avec une courbe covariante. La formule nous fournit le degré de celle courbe. Ainsi, les points qniy sur une courbe du degré m, satisfont à une même équation différentielle^ sont à P intersection de cette courbe avec une autre, dont le degré est co m -h w' — tu, les nombres w et w' étant calculés comme au n** 29.

Pour appliquer la formule (q4) à une courbe n'ayant que des singularités ordinaires, il faut calculer le nombre y. Or, diaprés notre mode d'analyse, on trouve à cet effet le procédé suivant : substituez, dans le covariant, le développement

J — Jo = (^ — .t'o)* [(^ — .To)"']-

Le degré, en (x — ^p^), du premier terme est 7.

Le nombre y étant ainsi connu, nous pouvons prendre la seconde forme (a4)) et supposer maintenant une courbe sans singularités tangentielles. Nous aurons alors m= [x(u. — 1), N = jx [((i)'-f- Sy) [x-h w — w' — 6 y]* D'où cette conclusion : Les points qui, sur une courbe de la clause [x, satisfont à une même équation différentielle, sont les points de contact de cette courbe et des tangentes qui lui sont communes avec une autre, dont la classe est

((«>' -h 3y) [x 4- ui — 0)' — 6y.

Exemples. — Prenons le covariant du n" 32. L'expression de û| montre que ce covariant s'évanouit en chaque point d'inflexion (v= 2, n = i).Donc il contient le facteur D, ce que le calcul direct permet de vérifier. Pour le covariant, débarrassé du facteur D, les nombres co et eo' doivent donc être diminués des nombres analogues, 3 et — 3, relatifs •à D. On a ainsi co= 12, 10' = — i5. Donc les points sextactiques d'une courbe de degré m sont sur une courbe covariante, du degré 12 m — 27.

S. — Courbes planes. 3J

6lO APPENDICE.

La même expression de Û| donne, pour un point de rebroussemenl(v = i, w = 2), — Y = 4 — i4jOuy= 10. Donc les tangentes aux points sexlactiques d'une courbe de classe [X appartiennent à une courbe covariante de classe

Les deux exemples du n° 42 donnent ici ces conséquences : les points où une courbe de degré m a des contacts du second ordre avec les coniques d'un réseau appartiennent & une courbe covariante du degré 3(m — i); les tangentes aux points où une courbe de classe [x a des contacts du second ordre avec ces mêmes coniques appartiennent à une courbe covariante de classe 3([x — 1); ces nombres sont doublés s'il s'agit des coniques passant par un point fixe et bitangentes à une conique fixe; et généralement pour une série de coniques à deux arbitraires, on a les nombres analogues 3Y(m — i), 3y(jjl— i).

50. Nous allons maintenant prendre quelques exemples de la formule générale (26), relative aux covariants du troisième ordre et à des courbes quelconques.

Exemple \ . — Prenons le covariant G lui-même. Il n'y a qu'un seul terme, défini par les nombres a = a' = -> fe = i ,

5z=:s^= — \ue nombre des coniques ayant avec une courbe

des contacts du troisième ordre, et par rapport auxquelles un point donné est le pôle d'une droite donnée, ou encore qui louchent une droite donnée, en un point donné ce nombre est

Application à la courbe

ÉTUDB SUR LES POINTS SINGLLIERS. 6l I

envisagée au n** 33 : m = [jl=: 5. Deux cyclesv^/i,/i4 = 3, Vj = a, «, = I, v3 = 2,^S(/i -i-v) = 4« Un cycle v= /i= a, A:= i, 11=1. Donc N = lo.

Application à la courbe x^y^ = r'^^ :

Si Ton envisage Téquation diffère ri lie Ile des coniques ayant avec une courbe donnée des contacts du troisième ordre, cette équation sera du second ordre et son degré par rapport à D sera N. Nous reportant au résultat général établi précédemment (n° 43), nous avons cette conséquence : les coniques dont chacune a un conlact du troisième ordre avec une courbe (m, [jl) et un contact du second ordre avec une autre courbe (mi, |ji|) sont en nombre

Exemple 2. — Pour le covariant F, nous allons prendre le premier membre de l'équation différentielle des coniques passant par un point et touchant une droite. Cette équation étant compliquée, nous ferons le calcul sans la développer. En désignant par V|,r29i'3 les coordonnées du point donné, déterminons les coefficients de Téquation d'une conique par les équations

/■( I- ) — «11 r J -h «M v\ -+- aj3 <i -f- 2 «„ r, ^t -+- 2 a,, p, c, -+- 1 a^ r, i', := o

puis

/(W) = 0, fiu) = 0, /(£l)=0, f{u)z=zO.

Formons, avec ces coefficients, ceux de l'équation taugentielle de la conique

.L'équation diiïérentielle s'obtient en meltant dans Téqua-

6l2 APPENDICE.

lion langenlielle, les coordonnées de la droite. Toulcfois il faut observer que les coefïicients a/y contiennent tous un facteur étranger (^«i/')*; on le vérifie aisément par le calcul, et la raison en est que la conique passant par un point ç cl ayant avec une courbe, en un point donné i/, un contact du troisième ordre, se réduit à la tangente, si ç est sur celle tangente.

L'équation dilTérentielle doit donc être débarrassée (lu facteur (i^uu'^^, sans quoi le nombre N que nous Irouverion i serait augmenté du double de la classe [x. Il faudra donc diminuer de deux unités le nombre cj calculé sur le covarianl, tel que nous l'avons défini.

Par rapport aux indices de dérivation, chaque coefficient aij est du poids 6; le covariant est donc du poids 12. Diminuant ce nombre de deux unités, nous avons a> = 10. Nous trouvons de même 8 = 16, parsuite<i)'= 8 — aa) = — 8. Le degré 6, par rapport à la dérivée du troisième ordre, est évidemment a. Il nous faut maintenant trouver les nombres qui caractérisent les divers groupes de termes. Mais, ne voulant pas développer le covariant, nous opérerons en substituant directement le développement relatif à un cvclc

Les coefficients a/y étant donnés par des déterminants, un raisonnement tout pareil à celui du n° 32 fait voir que les ordres de ces coefficients pour le cycle sont respectivemcnl les suivants :

an, ati, a»,, au, a^^, a^i,

2v — an, V — 2/1, 2v, V — 2/1, V — n, 2v — n.

Il en résulta que, parmi tous les coefficients de l'équation tangentielle, c'est ais dont l'ordre est le plus petit, ^y — in.

Ce résultat, indépendant du rapport-» montre que, dans ce

covariant, il n'y a qu'un seul groupe {s, s') pouvant donner

ÉTUDE SUR LES POINTS SINGULIERS. 6l3

le maximum de (^v + s' n). De celte analyse résulte

en combinant avec (2a), on obtient la forme dualistique

Nrzi/n-+-fjL-i-V(/i-Hv)-haH.

Ainsi les coniques qui ont des contacts du troisième ordre avec une courbe, et qui, en outre, touchent une droite el passent par un point, sont en nombre double de celles qui touchent une droite en un point donné. C'est une proposition connue dans la théorie des caractéristiques.

ËxF.Mi'LE 3. — Le calcul précédent s'applique encore au covariant qu'on obtient en envisageant les coniques passant par deux points. Ce covariant est une fonction linéaire desa/y, tels qu'on vient de les trouver. On obtient ainsi la formuh;

nombre des coniques ayant avec une courbe un contact du troisième ordre, et passant par deux points. Corrélativemeni

est le nombre des coniques ayant avec une courbe un contact du troisième ordre et touchant deux droites.

Le covariant dont il s'agit ici peut aisément être formé comme il suit. Soit âr^ = o la droite qui joint les deux points, et soient è^ = o, c^ = o deux autres droites coupant la première aux deux points donnés y, ^. L'équation d'une conique passant par y et p peut s'écrire

où A, B, R soal les constantes » éliminer. Cette élimination

se fait ainsi

d*où, en efiectuanl les calculs,

Quand ^ et y coïncident, on retrouve ainsi le covariant G sous la forme donnée précédemment. Pour réquation différentielle corrélative, celle des coniques touchant deux droites C|i = o, bu = o, en désignant para leur point d'intersection, on aura de même

qui donne encore G quand les deux droites coïncident.

Exemple 4. — Nous allons former un exemple dans lequel aient lieu eflectivement les circonstances qui distinguent la iormule (a6) de toutes les précédentes.

Soit une courbe anharmonique (K) donnée, et représentée par réquation

dans laquelle au, bu^ Cu sont trois trinômes du premier degrt'* en i/|, U2f Ui. Considérons les courbes an harmoniques (K'K

avec la même tangente Cu =; o, et ayant en outre, avec (K )

ayant le même exposant -, le même point singulier Cn = a« =f>

ÉTUDE SUR LES POINTS SINGULIEHF. 6lD

en ce point, le contact le plus élevé possible, quand d'ailleurs on choisit arbitrairement pour chaque courbe (K') le second point singulier et la tangente en ce point. Ces courbes (K') satisfont à une équalion diflTérentielle du troisième ordre, que nous allons former, et dont le premier membre sera le covariant que nous prendrons pour exemple.

Soit 6|| + Xatf-J-X'Ctt = o la tangente de (K) au second point singulier, et soit a„ '•\'Vcu = o la droite qui joint les deux, points singuliers de cette courbe. LMquation de (K') aura la forme

où le coefficient K est précisément le môme que pour la première courbe, à cause de la condition relative au contact de (K) et (K') au point singulier commun.

L*équation diflerentielle s'obtiendra par l'élimination de

Afin de bien préciser le calcul, introduisons les sommets du triangle de référence, en les désignant par a, ^, Y ^^ dénotant les coordonnées de chacun d'eux par la lettre correspondante affectée des indices i, a, 3.

Supposons au^buy Cu ainsi choisis :

«« = (?Y")» *» = (y««), c„=:(apw).

Rappelons-nous aussi les identités

bua„' — a^bj — — (a?Y) (ï""% (?uu') {oiuu') — (pwf/) i^uu') = — (api/) iuuu").

Ecrivons l'équation de (K') ainsi :

Cu Ca \C» J

Dilférentiant une première fois et ayant égard à la prc-

6l6 APPENDICE,

raière identité, nous obtenons

Diflférentiant de nouveau, en a^ant égard à la seconde identité, nous aurons

Pour éliminer la dernière constante X*^, nous n'avons qu'à résoudre par rapport au dernier binôme, puis diiTérentier, ce qui nous donne

Pour achever le calcul en développant cette équation différentielle et la mettant sous forme entière, nous n'avons qu'à introduire, comme il a été convenu,

Il vient ainsi, pour le covariant cherché,

Cette forme de F est entière si Ton ^ q> p. Pour les autres cas, F prend la forme entière si on le multiplie par des puissances convenables de G et D ; ce qui fait, en tout, trois cas à distinguer. Mais il est à remarquer qu'une seule formule suffit, comme dn va voir.

Calculons la formule (a6) dans Thypothèse q>P' Nous trouverons

^i p ytf P

D'après la définition du covariant F, on obtient le corrélatif par réchange de p et y. En échangeant donc p et q, m et |ji, n et y, dans la formule précédente, on obtient celle qui convient au cas opposé, et qu'on pourra aussi calculer directement

En supposant, dans la première formule, que la courbe (m, |x) soit elle-même une courbe anharmonique, caractérisée

(>ar les nombres/?', q'y et admettant qu'on aît~^-> les données seront

Il en résulte N = Zqq' + iqpl -^ pq^ . Faisons l'application /? = /?'= I, gr = 5r'z= 2 ;N= 18. Étant données deux cubiques de troisième classe, si l'on envisage les cubiques de troisième classe ayant avec chacune des deux proposées un contact du troisième ordre, en un point indéterminé pour Tune, au point d'inflexion pour l'autre, le nombre des cubiques considérées est égal à j 8.

Ce dernier exemple fait bien voir que, pour les problèmes

6l8 APPENDICE.

(lonl il s'agît, il n'y a pas d'équivalents, en nombre limité, aux points singuliers d'une courbe. Nous ne pousserons pas plus loin cette discussion qui, pour les covariants du quatrième ordre et des ordres supérieurs^ donnerait des résultats analogues, mais avec une complication toujours croissante*