Poursuivons la discussion commencée au n** 36, et
prenons un covariant différentiel du second ordre. SoitFx(^)
dv d^ Y ce covariant qui contient :r,j^, -^) -7-^- Ordonnons-le par
rapport à -5-^ et soit un de ses termes ( —^ j /( ^>^» ;j^ ) • Envisageons un cycle
X— Jo= A(.r — j;o)H-B(jr — OTo)' *4-
(' ) FooRET, Mémoire sur les systèmes généraux de courbes planes^ définis par deux caractéristiques {Bulletin de la Soc, Math., t. II» p. 73).
S. — Courbes planes. 38
Sg^ APPENDICE.
La partie principale du terme considéré est ici
r^(i-+-;jBj /(^«,Jo, A)(a;-Xo) ~« "•
Par la même raison qu'au n^ 36, on voit que ce coefScient ne peut être nul quelles que soient les données du covariant; par conséquent, la partie principale de Fx(^) a pour degré
le plus petit des nombres > et son ordre relativement
au cycle est le plus petit des nombres a(v — n). Si v^/i, cei ordre est zéro ; car F est supposé indécomposable et ne con-
tient pas, par conséquent, le facteur ^^* Si. au contraire,
v<^/{, le minimum répond au maximum de a; ce sera dooc
— Y(« — v), y désignant le degré de F par rapport à -j— • Ainsi :
Le nombre des points sur une courbe de degré m et de classe [X, en chacun desquels s'évanouit un covariant différentiel du second ordre y indépendant de la courbe, est
N = wjx -h oi'm -+- -^^{n — v),
où la sommation s'applique à tous les cycles de la courbe pour lesquels l'ordre surpasse la classe.
Distinguons les cycles en deux espèces : dans la première rangeons les cycles caractérisés par n ]> v; dans la deuxième ceux qui sont, au contraire, caractérisés par n'<v'. Faisons
A. cause de la relation (as), qui peut s'écrire
le nombre N est susceptible de deux expressions (24) N = a)iAH- w'm ^- Y''=(<«>' + 3Y)m-|-((D — 3Y)fi^4-ir?> corrélatives Tune de Tautre.
ÉTUDE SUR LES POINTS SINGULIERS. SqS
40. Cette corrélation se vérifie aisément sur la forme pro* jective des covariants dififérentiels du second ordre. Poui nous placer au même point de vue que dans le n^ 38, nous définirons cette forme comme il suit. Abréviativeraent, désignons par {u^l'') une fonction doublement homogène de Uif U2j Us et io Sa* is> du degré p par rapport auiL u, du degré q par rapport aux^. Faisons aussi
D = {uu'u').
La forme générale projective cherchée est
F^ ( w ) = DY ( w/» Çy ) + DY-» ( w/»-» ?^-^-« ) -+- DY-» ( M'»-* Ç^+« ) -h . . .
Par rapport aux indices de dérivation, le poids de D esl cgal à 3. Le poids de F est celui d^un quelconque de ses termes
Le degré par rapport à u est égal à 3 pour D, à 2 pour les i. Le degré 8 de F est donc celui d^in quelconque de ses termes :
par conséquent,
tù'-=zh — 2»=/> — 3y.
La seconde forme (24) du nombre N est ainsi
(aS) N=/>m -h^|jL-hY?.
Pour une transformation corrélative on doit remplacer respectivement u par Ç, l par Du et D par D^. Ces substitutions faites, F contient le facteur D avec l'exposant ay + q; ce facteur supprimé, on obtient pour le covariant transformé
F' = DY(£/p'Ç'7')-+-DY-ï(a'"-'?^'-^»)H-DY-«(«p'-fiÇ7'-He)^___
La première forme (a4) du nombre N est donc (26 bis) y — />' ijL -\- q' m -j- Y /*,
SgG APPENDICE.
et les deux formes (a5) et(a5 bis) ont entre elles la corrélation nécessaire.
Suivant la remarque faite au n^ 34^ nous devons exclure les lignes droites pour Tapplication de ces résultats.
41 . Si la courbe considérée n'admet que des singularités ordinaires, les lettres r et p marquent le nombre des points de rebroussemcnt et celui des points d'inflexion. Il existe donc une catégorie de problèmes bien définie, dans lesquels tous les points singuliers peuvent être remplacés par des équivalents en points de rebroussemcnt et points d'inflexion. Pour mieux dire, une courbe quelconque à l'égard des problèmes que nous venons de traiter est représentée par les nombres m, |ji, r, p. Mais cette propriété appartient exclusivement aux problèmes qui concernent les covariants du premier et du second ordre, comme nous le verrons bientôt.
De même qu'au n° 38, la formule (a4) ^^^ susceptible d'un énoncé relatif au nombre des courbes appartenant à un s} stème à deux arbitraires, et qui ont un contact du second ordre avec une courbe donnée. Il paraît inutile de nous v arrêter.
4S. Voici des exemples.
Exemple 1. — Pour un réseau de coniques, soit H(a) = o l'équation de la courbe hessienne, et soitJ(() = o celle de la cayleyenne, le covariant
Frz.DH(w)-J(Ç),
égalé à zéro, fournit l'équation diSiérentielle des coniques du réseau. Ici
Ainsi, dans un réseau, le nombre des] coniques qui ont un contact du second ordre avec une courbe donnée, du degré //<, et dont les points singuliers ont l'équivalent p eu
points d^inflexion, est égal à 3m + p- La classe de la courbe étant p., etTéquivalenl en rebroussements étant r, le nombre des mêmes coniques est aussi 3 [x + r.
Corrélativement, ce même nombre 3 m H- p ou 3}x-t-r est par conséquent aussi celui des coniques qui, appartenant à un réseau tangentiel, ont un contact du second ordre avec la courbe.
EXEMPLE 2. — Pour covariant, prenons le premier membre de l'équation différentielle des coniques bitangentes à une conique donnée et passant par un point donné.
Soit A(c/) le premier membre de Téquation ponctuelle de laconique donnée. Posons y^A(w) = B(w). Uéquation d'une conique bitangente à celle-ci peut s'écrire
où />!, />2î Pt sont arbitraires. Par suite, l'équation différentielle cherchée peut se mettre sous la forme irrationnelle snîvanle, où v^, i^a, {^z sont les coordonnées du point donné, et où les dérivées sont dénotées par des accents : .
Ui
En désignant par A| le déterminant conjugué obtenu par le simple changement de B(p)en — B(i^) au dernier terme, on aura le covariant sous forme rationnelle et entière ainsi :
F = A»(w) AA,.
On y aperçoit immédiatement les nombres caractéristiques
Le nombre N est donc ici le double de celui qu'on a trouvé dans l'exemple précédent.
Les coûiques bitangentes à une conique donnée, passant par un point donné et ayant un contact du second ordre avec une courbe donnée que caractérisent les nombres m, [l, r, p, sont donc en nombre égal à 2 (3 m + p) = 2 (3 jx 4- r).
En conséquence, c'est encore le même nombre pour les coniques bitangentes à une conique donnée, touchant une droite et ayant un contact du second ordre avec la courbe.
On peut, pour cas particulier, réduire la conique donnée à deux droites ou à deux points; nous aurons de la sorte les caractéristiques de l'ensemble dés coniques ayant avec une courbe (m, |Ji, r, p) des contacts du second ordre.
43. C'est pour une raison générale que, dans les deux exemples précédents, on a trouvé une proportionnalité entre les trois nombres caractéristiques. Toute équation différentielle du second ordre algébrique, dont l'intégrale générale est représentée par des coniques, est ainsi caractérisée par les nombres y, /> = Sy, ^ = o. Pour s'en convaincre, il suflîi d'observer, dans le covariant F^ (1/), la signification géométrique du coefficient de la plus haute puissance de D, et celle dn terme indépendant de D. En les égalant à zéro, on obtient deux connexes exprimant la liaison qui existe entre les origines et les tangentes des cycles des courbes intégrales où l'ordre difl(ère de la classe. Quand les courbes intégrales sont des coniques, le coeflicient de D^, égalé à zéro, donne le lieu des points auxquels se réduisent les coniques dégénérées, envisagées en coordonnées tangentielles ; le terme indépendant de D donne, au contraire, l'enveloppe des droites auxquelles se réduisent les coniques dégénérées, envisagées en coordonnées ponctuelles. Ainsi le coefficient de D^ ne contient pas les lettres ^, et le terme indépendant de D ne contient pas les lettres u. C'est ce qu'il fallait prouver. De là cette conséquence qui appartient à la théorie générale des caractéristiques pour les coniques : le nombre des coniques qui ont
ÊTLDE SUR LKS POINTS SINGULIERS. 599
des contacts du second ordre avec une courbe donnée et satisfont, d'autre part, à une condition triple indépendante de la courbe, est y{Zm -{- p). Le coefficient y ne dépend que de la condition triple; m est le degré de la courbe, p Téquivalent de ses points singuliers en points d'inflexion.
Pour avoir un exemple où ne se présentent pas de pareilles circonstances, il faut prendre une équation différentielle dont rîntégrale générale ne soit pas représentée par des coniques. En voici un : désignant par a, 6, c les premiers membres des équations de trois droites, prenons le déterminant
L'intégrale générale de Ft{u) = o est représentée par les cubiques ayant pour point et tangente de rebroussement le point a = c = o et la droite a = o ; en outre, leur point d'inflexion a pour lieu c^o et la tangente d'inflexion passe constamment au point a = 6 = o. Le nombre de ces cubiques qui ont un contact du second ordre avec une courbe est donné par la formule 6/n -[- p. On a, en eflet,
T=if /> = 6, q=zo.
44. Nous allons maintenant faire la discussion générale, commencée au n® 36, pour les covariants difl*érentiels du troisième ordre. Tout d'abord, prenons ces covariants sous leur forme projective, ou, en d'autres termes, indépendante des coordonnées. Dans une pareille forme, les dérivées du troisième ordre seront introduites au moyen de la combinaison suivante :
Les signes a-a, as, . . . expriment des formes linéaiiCo, savoir :
a^ =aii/, -ha,wt H-asWs, «ç =«1 5i 4-ai?i -h «aîc, Oui — «1 u\ -h «j u'^ -h ûT, w'a, ot^f = a, i\ -h a, Tj -h «, î'^.
6oO APPENDICE.
D'après les expressions des Ç, on peul aussi écrire
On voit que a^ et o^/ sont les dérivées de au et o^.
Les propriétés de la combinaison G s'établissent aisément. Pour la clarté, considérons ai, as, a^ comme les coordonnées d'un point a, et a\ , a^, a^ comme celles d'une droite, joignant deux points P,y. De cettemanière, on peut écrire a« = (Py")- L'analyse du n" S7 ou un calcul direct donne immédiatement cette conséquence que l'expression suivante
reste absolument invariable, soit qu'on change la variable indépendante, soit qu'on effectue à la fois sur les m, a, p, v une même substitution linéaire. En conséquence, la dérivée de Pf reste également invariable pour les substitutions linéaires. Quant au changement de la variable, son effet se traduit par la relation
dVt dV^ ds dt ds dt
D'après l'expression de G, nous avons
dt (?Y«)*'
Si nous effectuons une substitution linéaire à la fois sur les £/, a, p, Y' V^^ ^^s nouvelles coordonnées soient désignées par des majuscules, et que A soit le déterminant de la substitution ; si nous faisons, en même temps, un changement de la variable indépendante, nous aurons, pour traduire le changement qu'éprouve la forme de G, l'égalité
G,(«) = A'(J;yG,(U).
Ainsi G| (</} est un covariant différentiel du troisième
ÉTDDB SUR LES POINTS SINGULIERS. 6oi
ordre, et son expression contient un point a et une droite a en outre deè éléments du point x. Pour ce covariant, le nombre (I) est égal à 5. Le nombre 8 est égal à 6 ; par suite,
On peut, sans inconvénient, supposer le point et sur la droite a. Prenant alors des coordonnées particulières, on pourra faire
a, = 0, a, =:o, a, = 1, ot|=:o, «2 = 1, aj = o. Choisissant a: = — pour variable, et^ = — pour fonction,
on réduit ainsi P à ^-^ et G à -t^« Par là se reconnaît que,
dans celte hypothèse (le point a sur la droite a), G=o est l'équation différentielle des coniques qui touchent la droite a au point a. Si, au contraire, on suppose que a ne soit pas sur a, on peut choisir les coordonnées ainsi
Avec les mêmes variables que tout à l'heure, on a pour G
Texpression ^ -^ — j— — - , où les dérivées sont prises par
rapport à x. L'intégrale générale de G = o est
Aa;'H-2Bj?/-hC/*= I,
où A, B, G sont les constantes d^intégration. Elle est représentée par les coniques relativement auxquelles a est le pôle de a.
45. Au moyen du co variant G nous pouvons écrire un covariant quelconque du troisième ordre sous forme projeclive. Il suffit, à cet effet, de faire intervenir avec G le déterminant D =( uu' /) et de prendre pour coefficients des fonctions des lettres u et S.
6o2 APPENDICE.
Avec les mêmes notations qu'au n^ 40, nous avons ainsi cette forme générale
où les exposants, pour chaque terme, sont déterminés par deux d'entre eux, suivant les conditions qu'impose la constance de (1) et (1)' à tous les termes
A ces nombres il sera plus commode d'en substituer d'autres pour mettre en évidence la dualité. Soient
c = max. de (e + Sy), — 5 = Y + ^"-i^> ^' = 3^ + 6 — ^r, a=ztû — Je, a' = a)'-h|c;
b =^ max. de y.
Les nombres a, «', b et les couples 5, 5' dont chacun définit un terme de Ft{u) sont ceux que nous conserverons explicitement. Nous allons d'abord examiner comment ils se transforment par la dualité.
Nous l'avons déjà observé, le changement des coordonnées ponctuelles en tangentielles se fait par le changement de D en D^, de u en Ç et de lenDu. En conséquence, l'expression P ou — 7^ se change en rr^y si l'on échange en même temps le point a et la droite a. Par conséquent, l'expression de G se change en celle-ci — j-^ ^ ( ~~ J , ce qui se réduit à — D^G.
Si l'on fait ces changements dans F, on obtient pour le terme général transformé une expression de cette forme
ÉTUDE SUR LES POINTS SINGULIERS. 6o3
L'exposant de D peut s'écrire 2YH-28~|-5r = <i) — (e-J-Sy). Il a pour minimum (co — c). Il y a donc lieu de supprimer le facteur D*"*^ à tous les termes. Après cette suppression» nous avons, pour le terme envisagé dans F, un terme correspondant du covariant corrélatif^ et les exposants correspondants sont les suivants :
Ti = Y, ei = 2T-+-2e-h^ — co + c, />i = ^, ^i=/?.
Calculons, par leur moyen, les nombres 5|, /«, a'j, a^, et tout d*abord C| :
6| H- 3yi = 5^4- 2s-h q — ^-^c^=^c — e.
Comme F ne contient pas le facteur D, il y a au moins un terme où e est nul. Par conséquent, e, + 3 Yi a pour maximum c; c'est-à-dire C| = c. On a ensuite
— 5j = Yi-+-^i — î^i = 3y~+" '^^'^q—^'\ — = — 2 Y— 6-i--=i--5',
A= ^Yi -+- «i — T^i = 4y + 2s 4- 9 — to 4- - =: — Y — e -i-- = 5, «i=wt— fci = 5Yi-l-3E-+-9i — |ri=a',
En résumé, pour le covariant corrélatif de F, les nombres a et a! sont échangés, le nombre 6 se conserve; et pour chaque terme les nombres 5, s! sont échangés.
46. Soit à chercher l'ordre du covariant F relativement à un cycle
y — /o = (a? - Xo)'"^[(^ — x^y\'
Si — diflfère de l'unité, on trouve immédiatement pour
le degré de la partie principale de G. D'ailleurs la partie principale de D est du degré Donc un terme quelconque
6o4 APPBlfDICR.
de F a sa partie principale du degré ~ ^ >
ce que nous pouvons écrire — ^ La partie
principale de F est donc fournie par celui de tous les termes où 5v •+- s'a est le plus grand possible. Donc Tordre de F relativement au cycle est ^c(v — n) — max. de (5V + s'n). Nous avons dit qu^on trouve immédiatement la partie principale de G. Eflectivement, supposant le point a sur la droite a, nous avons vu qu'un choix convenable des coordonnées donne à G la forme -r^- Mais, en laissant a et a quelconques, le calcul n'est pas moins facile. Prenons, en effet, la quantité P en y choisissant ^ pour la variable indépendante. Pour un cycle v^/i, le premier terme de son développement
est du degré' ; le premier terme de sa dérivée est du
degré • Il en est de même pour G, qui s'obtient en
multipliant cette dérivée par une quantité dont le premier terme est une constante.
Prenons maintenant un cycle d'ordre n égal à sa classe, représentée par
On a, pour P, le développement si - <] I . Mais, s: — ^ i , on a
p,= A' -f- (^- .ro)[(j?-^or];
. ' / introduitun terme dupremierdegré, qui ne peut disparaître tant que «, p,Y restent indéterminés.
fiTUDB SUR LIS POINTS SINGULIERS. 6o5
11 en résulte que, pour le cycle envisagé, Tordre de G esl — {n — k) si k<Cn] ou zéro si k^n.
Nous désignerons par H la somme positive l(n — k) pour tous les pareils cycles. Le degré du covariant, relativement à G, étant 6, l'ordre total de F, pour ces cycles, est — bH.
Quant aux cycles v^n, chacun d'eux apporte à Q l'élément calculé précédemment. Le nombre des éléments de û, qui se rapportent à des points variables, est donc
N = cDfi-h Cl)' m -h 6H H — Tl('* — ^) -t-^j"'^^'^- ^® (^^-h^'/i).
Combinant cette formule avec (aa) et introduisant a et a' au lieu de a> et u>', nous aurons
(a6) N = a;x-Ha'/n-HÔHH- Vmax. de (5v -+-5'n).
Telle est la formule déGnitive qui donne le nombre des points, sur une courbe, où s'évanouit un covariant différentiel du troisième ordre. Elle est sous forme dualistique : le nombre H se conserve pour les transformations corrélatives ; [i. et m s'échangent, ainsi que a et a' ; v et n s'échangent, ainsi que s et s',
47. Il convient de nous arrêter quelques instants sur la formule (26). On peut se donner à volonté un ensemble quelconque de couples 5,^ : il y répond toujours des covariants F, sauf quelques restrictions que voici : i® les nombres 25, 2^ sont tous entiers et d'une même parité; 2^ 5 + s' est toujours positif, et l'une de ses valeurs est zéro ; 3° les maxima de ,j 4- 2^ et de ^ -i- 25 sont égaux.
Quand ces conditions sont remplies, on peut prendre
}c = max. de(5-+-2 5')^=max. de {s' -h as), puis a et a' à volonté, de telle sorte toutefois que 2a et 'ia'
6o6 APPBRDICB.
soient entiers et de la même parité que 2f et a 5% et en respectant aussi les inégalités
a^max. de (25' — 5), a'^max. de (25 — 5').
Au moyen de ces nombres on peut, pour chaque couple 5,^, déterminer /?, gr,Y,e d'après les égalités ci-dessus. Ces quatre nombres seront, comme on le voit aisément, entiers et positifs; en outre, e + Sy aura le maximum c; le terme correspondant proviendra du couple 5, y, où 25^ -H 5 est maximum; e aura le minimum zéro, correspondant au maximum de 2 s -{-s'; enGn y aura le minimum zéro, correspondant à 5 H- 5' = o.
La deuxième et la troisième condition imposée aux couples s^s' sont facilement satisfaites ainsi : prenons à volonté des couples S, S', les nombres 2 S, 2S' étant entiers et d'une même parité. Nous en pouvons déduire des couples 5,5' en posant
et déterminant \ et V par les deux équations
