Gonsidérons une fonction linéaire des u, soit

a 1= a, tt, -+- «, M, 4- «j Mj.

Envisageant cette fonction le long de la courbe G', appliquons le théorème du n" 27. Les cycles relativement auxquels l'ordre de a diflfère de zéro, quels que soient les coefficients a, sont : i® ceux qui répondent aux coordonnées x', y infinies; 2® ceux qui correspondent aux zéros simultanés des trois polynômes a. En ce qui concerne ces derniers, désignons par h l'ordre commun aux trois polynômes relativement à un pareil cycle; la totalité des zéros communs à e/|, U2y Ui donne, pour la somme des ordres de a, l'élément SA. Quant aux premiers, chacun d'eux donne l'ordre — gr; leur nombre est le degré m! de la courbe G'. Leur ordre total est donc — m!q.

Les cycles relativement auxquels l'ordre de a diffère de zéro, et qui varient avec les coefficients a, répondent aux intersections de la courbe G avec la droite a = o. A chacune de ces intersections correspondent k points de G'; ces intersections ont pour nombre le degré m de G. La somme des oixlres relatifs à ces cycles est donc km. En égalant à zéro la

ÉTUDE SUR LES POINTS SINGULIERS. (>u3

somme totale, on a ainsi Fégalité

km^=: ni'q — 7^ i

Considérons maintenant une fonction linéaire a des coordonnées tangentielles de x^ soit

Appliquons encore à a le même théorème.

Les points à coordonnées infinies donnent ici la somme

— im' {(/ — I ).

(leux. en lesquels dx' est nul donnent la somme — [x\ la classe de la courbe G étant désignée par yJ, Examinons maintenant quels sont les autres éléments de la somme des ordres, indépendants des coeflicients a.

Prenons un cycle (C), d'ordre n'. Supposons que, relativement à ce cycle, les polynômes u aient Tordre A. En faisant une combinaison linéaire de ces polynômes, on pourra faire disparaître le terme en t^. Soit alors A + N le degré du premier terme qui subsiste. Il est visible que Tordre de a, relativement au cycle (C), est 2A4-N — n\ Tel est Tordre de a, relativement à tout cycle (C), où les coordonnées de Torigine sont finies, et où la tangente n'est pas oc' =■ const.

Enfin la somme des ordres de a, pour les cycles dont les origines varient avec les coefficients a, est égale à Ar[jL, la classe de G étant désignée par [x. Nous avons donc

;t [X = 2m'(7 — 1) -h fi.' — V (2/1 4- N — w').

l/olimination de centre les deux relations conduit à celle-ci:

624 APPRfIDICB.

53. Pour dégager, dans la formule (ay), les éléments géométriques, envisageons d'abord Thypothèse Xr = i . En ce cas, C et G se correspondent point par point. La variable / qui correspond uniformément aux points d'un cycle (C) correspond uniformément aussi aux points du cycle (C), D'après le n** 9, N est l'ordre du cycle (C). Mettant alors n pour cet ordre, nous avons à prendre dans (27) tous les couples (C), (C) correspondants où {n — n') n'est pas nul. En prenant ces couples, nous pouvons écrire

jjL — 2/?n- V (n — I ) = [i' — 2 m' -h V (/i' — i).

Mais, dans cette dernière forme, la sommation peut se faire, pour chaque courbe, indépendamment de Tautre, pourvu qu'on n'omette aucun des cycles d'ordre différent de l'unité. Ainsi :

Le nombre \t. — 2 ni -\- \{a ^ i) se conserve dans toute

correspondance uniforme.

On verra plus loin que ce nombre est pair et a pour min> mum — a. On peut donc l'écrire a(/? — i) :

Le nombre entier, non négatif, />, s'appelle le genre de la courbe. Deux courbes^ qui se correspondent point par point, sont du même genre,

06. Prenons maintenant k différent de l'unité. Le nombre N est alors égal k pn, n étant Tordre du cycle (C) correspondant à (C), et p désignant le nombre des points de (G) qui correspondent à un même point de (C). Pour donner à l'égalité sa forme définitive, envisageons maintenant une seconde correspondance {x'yjc") entre un point de G' et un point d'une autre courbe C",et supposons cette correspondance caraclé-

risée par les nombres (i, k!'). Nous avons, en appliquant l'égalité (27) à C, C, et à C, C^

A-(|x — 2m):=[i' — 2in'4-^(p/i — n!) ^'(tx' — 2m')= |x' — 2m' + 2 (P"'*" "■ '*')•

La propriété essentielle des sommes ^ qui interviennent

ici consiste en ce qu'on peut les étendre à tant de cycles qu'on voudra, sous la condition de n'omettre aucun de ceux où l'élément de la somme n'est pas nul. On peut donc tirer des deux égalités cette autre

C'est là une des formes qu'on peut considérer comme définitives, tous les éléments étant susceptibles de définitions simples. Voici, à cet égard, les observations à faire :

I® Dans la formule (29), les courbes G et C" ont entre leurs points une correspondance quelconque (A:, A^), (n*" o2) ;

2** Les lettres n et v? désignent les ordres de deux cycles correspondants (C), (C) sur ces deux courbes; chaque point du cycle (G) a, sur (G"), des correspondants en nombre p, et chaque point de (G") a, sur (C), des correspondants en nombre p'.

57. Voici maintenant une autre forme de la même relation. Nous pouvons transformer (29) ainsi

où chaque somme sera étendue aux mêmes éléments que

précédemment. Mais, d'après (29), on peut les étendre à tant

d'autres éléments qu'on veut. Pour chaque cycle (C) qui

S. — Courbes planes» 4o

6^6 APPKiNDlCB.

figure déjà dans ces sommes, prenons tous les correspondants (C). Comme on a ^p = Ar, le second terme de la dernière relation devient A- V (n — i). Répétons la même transformation pour chaque cycle (C) qui figure actuellement dans les sommes, et le quatrième terme devient A^ ^^ («^ — i). Étendons ces deux sommes ^^{n — i) et V (n'' — i) à tous les cycles (C) et (G') pour lesquels les éléments ne sont pas nuls. Il restera au second membre la somme ^^(^^ — f)

étendue à tous les couples (C) et (G^) correspondants considérés, et cette somme se réduira à tous les couples (C) et (C") pour lesquels (p'^ — p) n'est pas nul. Faisant usage de régalité(a8), nous conclurons

Dans cette relation, la somme V (p'' — p) a la signification

suivante : a et a" étant deux points correspondants, à un point a: infiniment voisin de a correspondent p points jf infiniment voisins de a^,et à un pointx^ infiniment voisin de c/^ correspondent p* points x infiniment voisins de a. Quand a et af sont les origines de plusieurs cycles, on doit considérer successivement ces points comme appartenant à ces divers

cycles, pour faire la somme V (p"' — p). Cette relation (3o),

si remarquable par son extrême généralité, est due à M. Zeullicn.

Comme on Ta observé précédemment, la correspondance peut avoir lieu entre les points d'une seule et même courbe. La démonstration précédente s'applique parfaitement à ce cas, et la formule (3o) donne

ÉTUDE SUR LES POINTS SINGULIEllS. 6'}.J

Le genre /?, se conservant dans toute correspondance point par point, se conserve par dualité. C'est ce qu'on vérifie par la formule (1^9); en effet, si l'on écrit

on retrouve la formule (as).

En faisant usage des formules (3o) ou (3i ) dans des correspondances diverses, on peut établir par une voie toujours la même une foule de résultats concernant le nombre des points qui, sur une courbe, satisfont à une relation donnée, ou même concernant des groupes de points. Nous laisserons de côté ces applications pour aborder immédiatement une des questions les plus importantes qu'offre la théorie des correspondances, celle de la réduction des singularités.

58. Prenons les mêmes notations qu'au n"" 53, mais supposons que la correspondance envisagée soit caractérisée par les nombres ( i, i ). Pour un cycle(C')nous avons un cycle correspondant (C) ; les coordonnées d'un point de (C) se développent suivant les puissances croissantes de t, paramètre qui correspond uniformément, dans ce cas, aux points de (C) Comme aux points de C). Ainsi qu'on Ta vu au n® 9, la condition nécessaire et suffisante pour que l'ordre du cycle (C) soit l'unité consiste en ceci : les développements des coordonnées Uf, Ma, 1/3 doivent avoir la forme commune

dans laquelle les trois déterminants A,- By — AyB|- ne sont pas nuls.

Quand l'ordre n' du cycle (C) n'est pas l'unité, cette condition ne sera pas satisfaite si l'on prend arbitrairement les trois polynômes u. Effectivement, si ces polynômes ne sont pas nuls à l'origine de (C), leurs développements auront la forme A-^B^^'h- ..., et le cycle (G) sera généralement

(l'ordre iJ . On voit clairement que Tordre de (C) ne peut être moiudre que n', si les trois polynômes u ne s'évanouissent pas à Torigine de (C), en d'autres termes si h est nul.

Nous allons montrer qu'on peut former un polynôme f/, entier par rapport à xf ^ y^ et dont le développement, pour chaque cycle (Q) d'ordre /i']> i, ait la forme

M — ^A{âr,-h 6,/-+- . ..),

les premiers coefficients as, bsy • • • étant donnés à volonté pour chacun de ces cycles.

o9. Soit le cycle (Q) représenté par le développement dey suivant les puissances croissantes de (^ — ^j), a:^ étant Tabscisse de son origine. Prenons, dans ce développement^ Tensemble des premiers termes jusqu'à un rang que nous allons préciser, et désignons cet ensemble par /,(^,),en sorte que le dé\eloppement lui-même soit représenté par

la lettre F désignant le reste de U série. Le développement de )'' a n valeurs qu'on obtient toutes en prenant partout une seule détermination de ^^,et en la multipliant par les diverses racines (Os de eu"* = i. Les termes qui composent/ doivent èlre pris en assez grand nombre pour que fs{^tU) siit précisément n! valeurs.

11 peut exister d'autres cycles, ayant la même origine (|ue (C^) et qui soient représentés par des développements Miivant les puissances de (^' — x^)^ coïncidant avec le préc('dent dans un certain nombre de termes successifs. L'ensemble/^ doit contenir, en outre, au moins le premier terme par lequel le développement// + F/ difière de tous les autres.

Ceci fait, prenons un polynôme entier arbitraire en /^t ^s{fs)^ et formons la somme

appliquée à toutes les racines lOs de Tunité. Cette somme est rationnelle en y et t^* ; c'est donc une fonction rationnelle de x' et y, ^si^^y)' Pour chaque cycle (C), dont l'ordre diffère de Tunité, formons d'après la même règle une fonction rationnelle w^y en prenant chaque fois f, indéterminé, et considérons la somme p de toutes ces fonctions iVs- La propriété de cette somme v, qui va nous être utile, consiste en ceci : pour un quelconque (Q) des cycles précédents, le premier terme du développement de p est fourni par la partie correspondante w^.

Soit, en effet, <t le premier exposant de tg dans F,. Dans Cj,

le terme , ' jl . . a sa partie principale du degré — t.

Tout autre terme, où ^^ est multiplié par une racine de Tunité, a sa partie principale de degré plus grand ; car, diaprés la première condition observée dans le choix de/, le dénominateur a sa partie principale de degré moindre que o-. Pour une raison analogue, la seconde condition, observée dans le choix de/, a pour effet d'assigner à la partie principale de chaque autre fonction Vr un degré supérieur à — a-. C'est ce qu'il fallait prouver.

En prenant cp, à volonté, nous aurons ainsi le développement de p, pour le cycle (C^), sous la forme

Les coefïicients a^, ^f, • • • seront arbitraires en aussi grand nombre qu'on voudra, pourvu qu'on prenne le degré de tp, convenablement.

Il sufAt maintenant de prendre pour u le numérateur de la fraction rationnelle v\ le développement de u, pour chaque cycle (C^), aura la forme demandée. Les coefficients a, 6, . • . et a, P, . . • se déterminent linéairement les uns par les autres. Donc a„ bg, . . • peuvent être pris arbitrairement.