Prenons trois polynômes ^i, u^, 2/3, construits comme

G3o APPENDICE.

on vient de le dire, et employons-les pour déduire une courbe C de la courbe C. Tous les cycles (C), qui correspondent aux cycles (C) d'ordre n' > i, auront eux-mêmes Tordre unité. Tout autre cycle (C) donne d'ailleurs un cycle (C) d'ordre c'gal à Tunité. EfTectivement, la circonstance opposée exige qu'à l'origine du cycle (C) soient satisfaites les conditions

— - = — - = — -• Ces conditions, au nombre de deux, ne

Wj Mj ws

seront satisfaites en aucun point de G si les polynômes u ne sont pas .particularisés. Ainsi à toute courbe algébrique on peut faire correspondre point par point une autre courbe qui n'ait aucun cycle d ordre différent de V unité. On peut aller plus loin encore, en faisant entrer au nombre des cycles (G^) considérés précédemment tous ceux dont les origines sont des points multiples de la courbe C, quand même les ordres de ces cycles auraient l'unité pour ordre. De cette maaière, à toute courbe algébrique on peut faire correspondre point par point une autre courbe sur laquelle les correspondants de tous les points singuliers de la première soient des points simples, et qui n'ait elle-même d'autres points singuliers que des points doubles ordinaires. Ce théorème est dû à M. Nôtlier.

Ler points doubles de G proviennent des couples de pointi^ x', x\ pour lesquels les trois couples de valeurs de c/|, u^^ Ut sont proportionnelles entre elles. Ges couples de points sont variables sur G' quand on fait varier les arbitraires des polynômes u. Mais leur nombre est entièrement fixé quand les polynômes u sont construits, comme nous avons dit, avec des polynômes y de degré déterminé. Effectivement alors le degré et la classe m, [a de la courbe G sont donnés par les équations du n" Si. Puisque G n'a pas d'autre singularité, on a dans ce cas [jL = m(m — i) — arf, rf étant le nombre de ces points. G'est un résultat bien connu, et qui sera d'ailleurs démontré bientôt.

ÊTUDK SUR LES POINTS SINGULIERS. 63t

Le genre />, commun aux courbes C et C, est donné par la relation a(/? — 0=^ f^ — ^'^^ ^'^" ^*^" déduit

Des considérations, trop connues pour qu'il soit besoin

<Ie les rappeler, prouvent que le nombre des points doubles

n 1 j j ^ . j»A (/n— i)(m — a) d une courbe de degré m ne peut dépasser ^ -•

Donc le nombre p est, comme il a été annoncé, entier et non négatif.

61. L'analyse des n°' 58 et 59 conduit à donner au théo* rème de M. Nôther une forme plus géométrique. Les coor-

données x^ et y étant considérées comme les rapports r^> ^

de deux coordonnées homogèmes X, Y à une troisième V,

Z prenons une quatrième coordonnée Z et définissons -y par le

rapport de deux polynômes e/| ete/o;i^onplus d*un même degré comme précédemment, mais de degrés qui diffèrent entre eux d'une unité : M| de degré y -H i, Uq de degré q. En joignant à l'équation de la courbe G l'équation ^= — ^> nous

définissons une courbe gauche F, qui a un seul point singu* lier; c'est le sommet Z(X = Y = V = o) du tétraèdre de référence. En ce point, la courbe gauche se compose de cycles, d'ordre unité, ayant cette commune origine; les tangentes de ces cycles sont les droites aboutissant aux intersections de C et de la courbe Uq = o, autres que les points singuliers deC.

Si maintenant on fait la perspective de F en plaçant le point de vue arbitrairement, cette perspective est une courbe plane correspondant point par point à O et n'ayant pour points singuliers que des points doubles ordinaires (points doubles

apparents de F), et la perspective de Z, Cette courbe plane n*a donc, elle aussi, aucun cycle d'ordre différent de Tunité. En faisant varier d'une manière continue le point de vue jusqu'à Z, on pourra obtenir C comme limite de cette perspective. Donc une courbe algébrique quelconque peut être considérée comme la limite d'une autre courbe n'ayant aucun cycle d ordre différent de t unité. Dans celte déformatiouyles points singuliers de C s'obtiennent par la réunion de points doubles entre eux.

6S2. Pour faire comprendre la grande importance du théorème de M. Nother, nous allons montrer, par un exemple, comment ce théorème permet de transporter à des courbes quelconques certaines propriétés faciles à prouver pour les courbes à singularités ordinaires.

Soit une courbe C du degré m, n'ayant d'autres points singuliers que des points doubles ordinaires, en nombre </, et dont le genre /> soit au moins égal à l'unité. Par les points doubles on peut mener des courbes <{;(â;,j^) = o du degré m — 3, et ces courbes i( forment un système linéaire à j9 — i arbitraires. En d'autres termes, il existe/) polynômes «l|,^s 9 • • •l'^p linéairement distincts entre eux. Soit/(j:,^) = o l'équation de C, sous forme entière; et considérons Tune quelconque

des expressions !^);?^'^\ = OaCo;) le lonff de la courbe C. Un

ày

théorème célèbre, dû à Abel, et pour la démonstration ducpiel nous renverrons aux ouvrages spéciaux (*), fait connaître la propriété suivante de la fonction Oa(^)« Soit un faisceau de courbes dont chacune rencontre la courbe C en X points variables avec le paramètre du faisceau, les autres points de rencontre étant fixes pour toutes les courbes du faisceau; en

('} Clbosch et GoaoA.1, Théorie der AbeVscken Functionen, p. 44*

ÉTUDE 8in LES POINTS SINGULIERS. 633

désignant par aTi , 0:2, • . • , ^x les abscisses des points variables, CD a toujours

^jt{Xi)djCi -4- ^ji.{xt)dxt . . . ^j^.{xx)da:x= o.

De ce théorème, M. Edouard Wejr a déduit le suivant : si l'on peut, en modifiant le faisceau, faire en sorte que les X points de rencontre de C avec une des courbes du faisceau soient choisis arbitrairement, le nombre X est nécessairement [dus grand que le genre p de la courbe C.

En effet, pour un quelconque des groupes (Xi . • . x^) ont , lieu p équations, telles que la précédente. Si l'on avait )w</?, ces équations homogènes entre les différentielles dx^ , . . . , dxx entraîneraient une ou plusieurs relations entres x^, . . . Xx^ ce qui est incompatible avec Thypothèse, un des groupes Xi . . .Xx devant pouvoir être pris arbitrairement.

Si maintenant on applique une même transformation, à la fois, à C et au faisceau, on obtient une transformée G et un autre faisceau. Les points mobiles sur C se transforment en points mobiles sur C, et le théorème de M. Weyr s'applique à une courbe algébrique quelconque, les deux nombres X et/? se conservant dans la transformation.

n existe aussi une proposition réciproque. Revenons à la courbe G, qui n'a que des points doubles ordinaires. Par ces d points et/> 4- I autres, choisis à volonté sur C, on peut d'une infinité de manières mener une courbe C| du degré m — 2. Les autres intersections de G et G| sont au nombre

Par ces dernières et par les ^points doubles on peut mener un faisceau de courbes G|), du degré m — 2. Effectivement le nombre total des pivots est

Cl est une des courbes de ce faisceau, et Ton a pris à volonté

634 APPENDICB.

pour cette courbe C| le groupe des intersections mobiles, qui sont en nombre (/>4- i)« Ainsi, tandis que le théorème de M. Edouard Weyr assigne au nombre X la limite inférieure />-)- i) nous voyons maintenant que cette limite peut être eHectivement atteinte pour une courbe C à points double^ ordinaires. Mais ce résultat s^étend immédiatement aux courbes quelconques, et nous avons cette proposition générale : «, sur sur une courbe algébrique quelconque, on veut déterminer les points par groupes au moyen des intersections de la courbe avec les courbes d^ un faisceau^ et cela de telle sorte qu*un des groupes puisse être pris à volonté, le minimum^ du nombre des points composant un groupe surpasse dune unité le genre de la courbe.

Cet énoncé attribue au genre une signification géométrique tout à fait générale et, en même temps, montre clairement que cet élément se conserve dans les transformations uniformes.

On remarquera que la démonstration a laissé de côté les courbes du genre zéro, du moins pour le théorème de M. Edouard Weyr. Mais ces courbes n'échappent pas à la démonstration de la seconde partie, et l'on voit que, suivant l'expression de M. Chasles, les points s'y déterminent m^ividuellement.

Dans la dernière proposition, la condition qu'u/i des groupes puisse être pris à volonté est essentielle. Par exemple, les courbes hyperelliptiques,^'^ = F(j:), où F(jr) est un polynôme entier de degré a/i, sont du genre (n — i); et cependant les points s'y déterminent par groupes de deux seulement au moyen des droites x =: constante. Mais on ne peut pas prendre à volonté les deux points d'un même groupe.

63. Une assez curieuse application de la formule donnant le genre peut être faite à la courbe r* = cosArO (n° 16). Il est visible que deux telles courbes se correspondent point par point quand les deux nombres tels que k ont le même numr-

râleur pour les deux courbes. On doit donc trouver pour le genre une expression dépendant seulement de ce numérateur. Prenons, par exemple, le cas où ce nombre k est positif,

égal à -• La discussion faite au n^ 16 montre qu'il y a sur la

courbe Zq cycles d'ordre s et de classe q. On a donc

D'ailleurs u = q{q -H 5), m = iqs. Donc

2{p^l)z=zq{q i-s)-l^qs-^'6q{s-'i)=:q{q--i).

636 APPKNDICK.