QUATRIÈME PARTIE

64. Nous allons étudier maintenant avec plus de détails les développements en série dont nous avons, au début de cette étude, introduit la notion. Soit donc un développement suivant les puissances ascendantes, à exposants positifs et fractionnaires de x ; soit n le plus petit dénominateur commun à tous les exposants. Considérons d'abord le premier exposant ^ et, le réduisant à sa plus simple expression, écrivons-le

s t=. ^yq étant un diviseur de n et pouvant se réduire à Tunité.

Dans les termes qui suivent, laissons de côté tous ceux où l'exposant a pour dénominateur q ou un diviseur de q^ el retenons le premier qui ne soit pas dans ce cas. Soit t^ ce premier exposant; écrivons-le ainsi

Les nombres s^ et q^ étant pris aussi petits que possible. qq^ est le plus petit dénominateur commun à ^ et /,, et q% n'est pas l'unité.

Dans les termes suivants, laissons de côté ceux où l'exposant a pour dénominateur qq^ ou un diviseur de 99,, et retenons le premier qui ne soit pas dans ce cas. Soit t^ ce premier exposant; nous l'écrirons

s Si 5j

En continuant de la sorte, nous distinguerons un dernier exposant

Ç Çfi l'ii'h q(hl*-'lk

ÊTLDE SUR LES POINTS SINGULIERS. 63j

et le produit gÇi q2' • »Çk est précisément le dénominateur /i, commun à tous les exposants.

De cette manière, nous avons distingué dans le développement certains termes caractéristiques

ax\ aijr'i,fl,xi, . . . «a xi,

dont les exposants sont donnés par la formule générale (32). Dans cette formule, les entiers positifs 5, q de même indice sont toujours premiers entre eux.

Par construction, l'exposant d'un terme quelconque, intermédiaire entre ceux d'exposants ti et ^/^i, a pour dénominateur celui de ti ou un de ses diviseurs.

Tous les exposants des termes qui suivent le dernier terme caractéristique ont pour dénominateurs n ou des diviseurs de n.

Les exposants t sont les exposants caractéristiques, les

fractions — les nombres caractéristiques.

65. Nous aurons besoin de considérer simultanément deux développements différents, mais ayant en commun un certain nombre de leurs premiers termes. Employons, pour ce second développement les mêmes lettres accentuées, et admettons que le premier terme différent de part et d'autre soit, pour j^,

pour y

K et l'un au moins des coefficients A et A' diffèrent de zéro. Voici, à ce sujet, la recherche que nous avons besoin de faire. Prenant une des déterminations àey et successivement chaque détermination de y, nous allons chercher l'ordre de la partie principale du développement de chaque différence^— y.

638 APPENDICK.

Pour fixer les idées, soil o l^argument de la quantité complexe jr, choisi entre o et it, et admettons que la détermination, considérée pour ^', réponde à Parfument ■

pour x^^^"^'

Nous obtenons une détermination de y en attribuant là encore à x Targument f , puis en augmentant successivement cet argument de circonférences entières.

Pour la première détermination de y la partie princrpale

der — y est du degré ti-\ • C'est encore le même

degré qu^on obtient en ajoutant à l'argument de x

L'entier h peut acquérir les valeurs

o» i> •• • i{Çu\'Ç'i+» ...gi*— i).

Soit q'i^i q'i^^ . . . qrjj, = Q ; il y a Q diiFérences dont l'ordre

est ti H •

qqi... qt

Ce résultat s'applique encore si ^H est l'exno-

^^ ^ qqx'-qt *

sant caractéristique d'indice t + iy dans l'un ou l'autre des deux développements. En ce cas seulement, le nombre Kpeul n'être pas entier^

Quand on ajoute à x l'argument ^hqqi . . . gr/^iTc, en prenant h non divisible par qi on obtient, pour la partie principale de^ — y^ l'ordre ti. De la sorte il y a Q (çi — i ) difTérences d'ordre ti.

En ajoutant à x l'argument ixhqqi, . , ,qi 2'Ky h n'étant pas divisible par q,'i , j'ai Qy«(5'i-i — i ) différences d'ordre *i i ] etc. • ■ ■

Enfin, en ajoutant à x l'argument a Ait, h n'étant pas divisible par (7, j'ai Qqiqi-t- ••</!(? — i ) difTérences d'ordre /.

ÉTUDE SUR LES POINTS SINGULIERS. ÔSq

La somme totale des ordres des quantités^ — y est ainsi ce qui peut s'écrire, en renversant Tordre des termes,

Prenons maintenant pour ^ successivement ses diverses déterminations. Chacune d'elles conduira à ce même résultat. Donc la somme totale S des ordres de toutes les quantités C^ — y) s'obtient en multipliant la précédente par gr^r, . . . y^:

S = (7/-f-i^/+» . • • gk){quiq\-^, . . . q'k)[sq{qiqt . . • ^/)'4- • . . 4-^/<7/^- *^]-

Cette somme S est, comme on voit, symétrique par rapport aux éléments des deux cycles-. C'est l'ordre d'un cycle par rapport à l'autre.

Si les deux développements n^ont aucun terme en commun, la somme placée dans les accolades se réduit à K.

66. Nous aurons à employer aussi une somme analogue obtenue en considérant les parties principales des diiTérences y — y^ formées avec les diverses déterminations d'un même développement. L'analyse précédente s'applique fort bien à ce cas; et l'on a ^r^ — i différences de l'ordre /a> qh{qk^i — I ) différences de l'ordre ^a i, . . ., enfin

qkqA-i-''qi(q — i)

différences de l'ordre t. On a, bien entendu, considéré une même détermination j et toutes les autres j^i pour former

r— ri-

Le total est ainsi

-.iiçrj,...rj,-^l)-^^{q,q,.,.q,-^)...^

64o APPENDICE.

En multipliant cette somme par le nombre des diverses déterminations de y et divisant par a, on aura la somme T des ordres de toutes les différences^! — y^^ formées avec les diverses déterminations d^un même développement :

-+- SiÇtqn . . . qiciqiqt ... 7*— i) ... 4- Skiqt—i). En supposant s = q -{-y, et faisant

n = qqi... q^y n'^zzqq^,,, qtq^^^ . . . q\,,

nous pouvons partager les expressions de S et T chacune en deux parties, savoir :

6 et € ne sont autres que S et T où l'on a remplacée par'^. Si '^ est positif, les développements représentent des cycles tangents à Taxe des x^ 6 est la somme des ordres des contacts des branches de l'un des cycles avec les branches de l'autre; Eest la somme des ordres des contacts des branches du premier cycle entre elles.

67. La signification géométrique des nombres S, € montre clairement que les nombres caractéristiques sont indépendants des coordonnées. Cette propriété peut être aisément aussi prouvée par un calcul direct; mais nous ne nous y arrêterons pas, ce calcul étant très analogue à celui que nous allons faire pour un autre but : trouver les nombres caractéristiques en coordonnées tangentielles, étant connus les nombres caractéristiques en coordonnées ponctuelles.

Soient quatre développements suivant les puissances ascendantes d'une variable, et commençant par des termes de degrés positifs, ainsi :

par ax",

par «(Xi"!

par pa:*,

Ti(*i)

par p,x,''

ÉTUDE SUB LES POINTS SINGULIERS. G^l

Considérons, d'une part, les équations et, d'autre part,

Si Ton développe t| et t| i suivant les puissances croissantes de Ç par Télimination de or et oti, les deux nouveaux développements auront en commun quelques-uns de leurs premiers termes. Cherchons le premier terme différent, ou mieux le premier terme du développement de t|i — y|.

En supposant infiniment petites les quantités ^, j^i , Ç, y;, y; , , on voit que la partie principale de ûCt — x est

celle de Tu — tj provient ou bien de f(^i) — f(^)» ou bien de fi (Xi) suivant les ordres infinitésimaux de ces quantités. Par suite, la partie principale de ?;< — yj est Tune des deux quantités suivantes :

Si «1 — a = fr| — fr, la partie principale est la somme de ces deux quantités, pourvu toutefois que la somme des coeflicients ne soit pas nulle : aa^i — frai ^^ o.

Appliquons ce résultat en prenant les développements proposés de cette manière. F(x) et F|(^i) étant deux autres séries commençant respectivement par les termes Ax^ et A|ar/+*, prenons

., , dF{x) . ^ . d F(.r)

s. ^ Courbes planes. 4'

Nous aurons alors, pour la partie principale de r^ i

t \ tk)

68. Au moyen de ce calcul préliminaire, nous sommes en élat de prouver que, si les nombres caractéristiques d'un cycle, en coordonnées ponctuelles, sont

le même cycle, en coordonnées tangentielles, a les nombres caractéristiques

q Ss Sn Str

Prenons les coordonnées tangentielles comme au n^ G,

djc ' dx \xj

Envisageons, comme précédemment (n® 66), deux détermi* nations du développement, ^et^i, la seconde déduite de la première par addition de ay^i. . . qux'K à l'argument de x. Prenant F(x)=^, et pour le développement F, prenant celui de y{ — y^ nous conclurons par le calcul précèdent que, dans le développement de r[ suivant les puissances de i, il existe deux déterminations ir;, tji dont la différence y) , — r

a sa partie principale de Tordre > nombre qui est ici

Prenant successivement {= i, a, . . ., Ar, nous concluons que le développement de tj en Ç contient les nombres caraclé-

rîstîques énoncés. Le dénominateur commun à tous les exposants étant yq^ 5^2 •• • ^ki comme on le sait d'avance (n"" 6), on conclut qu'il ne saurait exister d'autres nombres 'caractéristiques.

On peut de là tirer une conséquence relative au nombre d (n*" 66). Prenant ce nombre et son analogue G en coordonnées langentielles, on a immédiatement

2 (î — C5) r=: (7 — x) grj ^, . . . Ç^ = n — V.

Cette égalité se traduit ainsi : La somme des ordres des eontacts des branches d'un même cycle entre elles et la somme analogue pour un cycle corrélatif diffèrent entre elles comme les demi^ordres des deux cycles.

69. Prenons maintenant deux cycles, comme au n^ 65. Le calcul du n® 67 fait voir que les développements relatifs à ces deux cycles en coordonnées tangentielles donnent lieu à deux déterminations dont les différences sont de Tordre

q f s^ Sf Si K \

ïA 77i ^ÇiÇt qqi"'(/i 971 ••7*7

7-^-/, ,Jl,, ^* ^ fL

X iA\ X7i7« y/ix'-^i yjh'^i

Le nombre K se conserve donc en coordonnées tangentielles avec la même signification. Si Ton se reporte à l'expression de 6y on voit que ce nombre se conserve aussi; par conséquent : la somme des ordres des contacts des branches de deux cycles différents et la somme analogue pour deux cycles corrélatifs sont égales isntre elles.

70. Le premier problème à la solution duquel nous allons appliquer les notions qui précèdent est celui-ci : Véqualion d'une courbe étant donnée en coordonnées ponctuelles, et les points multiples étant connus, trouver la classe de la

courbe sans former l'équation en coordonnées tangentielles.

Les points de contact des tangentes menées d'un point a sont les zéros, variables avec ce point, pour le covariant

diiTérentiel \^^rny Soit /(m,, Wj, «/,)=o Téquation de

la courbe ; les trois coordonnées tangentielles (^-jtt) sont

proportionnelles aux dérivées partielles de /. Au covariant différentiel, on peut donc substituer le covariant fini

„ dt dt dt

polaire du point a. Pour préciser les coordonnées, nous les supposerons liées par une relation linéaire. Sous cette convention, F est un covariant absolu; il reste absolument invariable si Ton change les coordonnées. Pourcette raison, on peut supposer les points à coordonnées infinies situés sur une droite arbitrairement choisie. En appliquant à F la proposition générale du n° 27, nous aurons donc, pour la somme des ordres de F répondant aux coordonnées infinies, le nombre — m{m — i), où m est le degré delà courbe proposée.

Relativement à un cycle, dont Torigine a des coordonnées finies, l'ordre de F diffère de zéro, quel que soit le point a,

dans le cas où les trois dérivées partielles ~ sont nulles à

l'origine de ce cvcle. C'est précisément là le caractère des points singuliers. Prenons un tel point et, pour calculer Tordre de F relativement à un des cycleS; choisissons les coordonnées Ui et Wj nulles à l'origine, et pour 1/3 = 0 prenons la tangente de ce cycle. Faisons, de plus, i/, = 1 . Ces suppositions sont permises, comme on l'a vu tout à Theure. Nous mettrons maintenant x etjK au lieu de ii|, Uf

D'après les hypothèses, c'est la dérivée ■—- dont l'ordre est

le plus petit. Ceci résulte du calcul fait au n^ 6, en vertu de la proportionnalité des dérivées partielles et des coordonnées tangentielles.

Pour calculer l'ordre de F relativement au cycle (C), il sufGt (n^ 27) de substituer dans F le développement d'une détermination de ^ suivant la puissance de x, de prendre le degré de la partie principale, et de multiplier par Tordre du cycle.

Soient^, y"^ y'\ . . . tous les développements de^ suivant les puissances croissantes de a, valables aux environs de ^ = o. Nous pouvons écrire

d'où résulte, pour y = j^,

Si y est une des déterminations appartenant à (C), nous avons à prendre ainsi la somme des degrés des parties principales de toutes les différences (j/ — y)',{y — yO> •••et à multiplier cette somme par l'ordre du cycle.

Le résultat se compose donc : i'' du nombre 2T, calculé au n®(67), et relatif au cycle (C) ; a** de la somme des nombres S, calculés au n* 65, relatifs au cycle (C) combiné avec tous ceux qui ont la même origine.

Soient (Co), (C<), (Ca), ... les divers cycles de même origine, Tq, T|, T2, . . . Soi, . • ., S|2) . . • les nombres qui sont relatifs à ces cycles. L'ordre de F relativement à (Co) est 2T0 -H Soi -*- S02 -H .... La somme des ordres de F relativement à (Co), (C|), (C3),. . . est donc

2(To-hT, + T,-+- ... So, 4-So,-hSi,-H...).

Considérant de même tous les points singuliers, on aura

finalement, en ajoutant tous les résultats, cette expression de la classe pi :

HL=m(/n-i)-îi2(T + S).

Les nombres T se rapportent à tous les cycles d'ordre différent de l'unité ; les nombres S aux combinaisons deux à deux de tous les cycles ayant des origines communes. Au lieu des nombres T, S, on peut introduire les nombres 0, €, et écrire

IL^mim- i)-^n{n]'^i)'-2^non,-2^(^-i-S).

En appelant N = /lo 4- «1 + ^a -f- . . . l'ordre de multiplicité d'un point singulier, origine de divers cycles d'ordres /lo, n , , n^f • • • , on a

N{N - i)^^n{n -- i) -^ 2^ninj;

donc enfin

N est l'ordre de multiplicité d'un point, et V(6-f-€) la

somme des ordres des contents de toutes les branches de courbes deux à deux. Telle est la formule demandée, dans sa plus grande généralité.

Un point double ordinaire apporte à cette formule l'élément N(N — i)=:2, (1-4-6 = o. Un rebroussement ordinaire donne N(N — i)=2; 2(î-f-S) = i; il abaisse la classe de trois unités.

71 . Prenons la formule corrélative, et, remarquant que S s*y conserve (n^69), nous aurons

m =1 (X (|ji - I ) — 2 ^ ( X — I ) — 2 2 (^ ■+■ * ) • La première sommation, dans cette dernière formule, ne se

ÉTCDJi SUR I.Bâ POINTS SINGULIERS. 647

rapporte pas à tous les mêmes élémenls que la première sommation de la première formule. Mais, dans les deux formules^ les secondes sommations s'appliquent de part et d'autre aux mêmes éléments, les couples de branches tangentes entre elles.

Combinant les deux formules et tenant compte de la relation entre € et 6 (n^ 68), nous aurons

et, en employant la relation (a2),

HL(fiL — 3)— /n(m-3) = ^i)I,(^î;,- i) — 2^(N'-')• Celte dernière formule, remarquable par sa généralité, contient l'ordre de multiplicité N de chaque point singulier, et celui 3(L de chaque tangente singulière. N est la somme des ordres des cycles ayant une commune origine ; X la somme des classes des cycles ayant une commune tangente (').

Application. — Soit la courbe considérée au n** 33

z {yz — a:')*=-. ^'.

Poulie point a: = -3— o, N(N — i) — 6, 2(e-^S)rrr4; Pour le point j? ^rr =z o, N(iN — i):=z2, 2((l-r- 0) -- 3.

Donc |JL = m = 5, comme on l'a trouvé autrement.

72. La recherche du nombre des intersections confondues en un point singulier, commun à deux courbes, constitue le dernier problème dont nous ayons à chercher la solution. Le raisonnement à appliquer est le même que pour le problème précédent : au lieu de la polaire, il faut envisager le premier membre de l'équation d*une des courbes, et l'on a

(') Cette formule a été trouvée par M. Zcutheo, dans le Mémoire qui clôt la liste placée en tète de cetle étude.

immédiatement la solution suivante : le nombre cherché est la somme des quantités S calculées en accouplant chaque cycle d'une des courbes avec chaque cycle de l'autre courbe. D'après la signification de la quantité 0, on peut dire que le nombre des intersections de deux courbes, réunies en un point y est égal au produit des ordres de multiplicité de ce point sur Tune et l'autre courbe, augmenté de la somme des ordres des contacts qu'ont les branches d'une courbe avec les branches de l'autre en ce même point.