I. Trouver la romlilion pour que les équations
nx -i- by -Jf c = ii'x + b‘y -h c'= «'.c b’ y -+- c'= a'”x ■+- b" y ■+■ l "
soient compatibles.
Soit >. la valeur commune de eliaciine de res quantiU'S. En éliminant •r,/ et À entre les quatre équations ax -t- by -h c = , on trotive
pour la condition cherchée :
fl fl' II’ II" '
ou bien
A, B, C, D désignant les quatre déterminants mineurs obtenus en supprimant la première ligne, et successivement chacune des colonnes dans le déterminant qui précède.
La condition pour que quatre droites forment un quadrilatère circonscrit |)cut s'obtenir en exprimant que les équations a = p = 7 = o sont compatibles. Dans ce cas, les déterminunls mineurs A, B, C, D représentent respectivement le produit d’un côté du quadrilatère par les sinus des deux angles adjacents.
II. Trouver les relations qui lient les distances deux à deux de quatre points pris sur un cercle.
En elTectuant, d’après la règle connue, le produit des deux déterminants
- aa:,
xj
•cj -+-yl
-■XX
•rî + r\
qui expriment tous deux la condition indiquée au n° 91, on tro la relation cherchée
jve l'Our
CHAPITIIE IX.
dans laquelle (la)’ représente le carré rie la distance des deux points i et a. Le développement du déterminant conduit à l'équation
(ia)(34)±(i3)(a4)±(ij)(a3) = o.
’ III. Trouver une relation entre les distances deux à deux de quatre points sur un plan.
Ajou'ons une unité et des zéros aux deux déterminants dont nons avons fait le produit dans l'Exercice précédent, il vient
’'î — Vi ' I ^ ' -^1 .’i ’ i-
Nous avons maintenant cinq lignes horizontales et quatre colonnes seulement; le produit doit donc être nul. Mais ce produit n'est autre que le déterminant
qui donne le développement
(i2)’(34)’r(ia)’ + (34)’-(.3)’-(.4)’-(a3)’-(a4)’] -t-(i3)’(24)’[(.3)’-*-(a4)’-(.a)’-(.4)’-(a3)’-(34)’] ^(i4)’(23)’[(i4)’-f-(23)’-(ia)’-(.3)’-(a4)’-(34)’] -H(a3)’(34)’(42)’-+-(.4)’(43)’(3.)’-t-(i2)’(a4)’(4i)’
En remplaçant dans cette équation (a3), (3i), (la) par a, b, r; (i4), (a4), (34) par R -+- r, R -t- c', R r', on obtient une équation du second degré en R, dont les racines représentent les rayons de„s cercles touchant à la fois extérieurement (ou intérieurement) les trois cercles ayant r,r \ r’ pour rayons, et dont les centres forment un triangle ayant a. b et c pour côtés.
Les solutions des problèmes des Exercices H et 111 sont dues à M.Cayley. { l oir les Lrrnns il’ytlgi-brc \iiprririiir, traduction française, p.27.)
IV. On peut obtenir une relation entre les longueurs des tangentes communes à cinq cercles, on suivant la même marche que dans l'Exercice précédent.
DU CURCLE. ^OTATIO^S ABREuEuS.
Éi ri\ons les doux sorios d'éldmenis
j I jr' )' /•'
ronlcnaiit cluicuiio oimi lignes liorizonlalcs et six colonnes; leur produit doit t'tre nul. On a donc, on suivant los régies indiquées pour la mulliplioalion dos déterminants, 1a relation
