CHAPITRE X

CLASSIFICATION ET PROPRIÉTÉS COMMUNES DES COURBES REPRÉSENTÉES PAR L ÉgUATION GÉNÉRALE DU DEUXIÈME DEGRÉ.

133. L'équation du second degré entre deux variables .r et r, dans sa forme la plus générale, peut s’écrire

ax--i- -ilixy 4- h y' -y if’x H- 2 fy -f- c = o,

«, b, c,f, g, h étant des constantes.

La nature d’une courbe ne dépend pas de la grandeur jo/«e des coefficients de son équation, mais seulement de leurs rapports mutuels, puisqu’on multipliant ou en divisant tous ' ses termes par une quantité constante, on ne change pas la courbe qu’elle représente. Cinq relations suffisent donc pour déterminer une courbe du second degré, dont l'é(|uation renferme six constantes, puisqu’on peut les ramènera cinq en les divisant toutes par le terme absolu, qui devient alors égal à l’unité.

Ainsi une conique est déterminée par cinq points, puisqu’en substituant aux coordonnées courantes, dans l’équation générale, les coordonnées x', y',... des cinq points par où doit passer la courbe, on obtient entre les coefficients cinq équations qui sont suffisantes pour déterminer les cin ..ah

quantités -> ‘ '

(*) Nuuü (lenioiitrcTons plus loin que la sc*ctiori faite pur un plan dariN un cône à baw circulaire est une courln* du deuiièine degr«‘, et que, rfcipnKpieiiient, toute courbe du deuxième degré |>eut être pincée sur un part'il c<!^ne, pnr suite être considérée comme une section conitftte, CA*st du rvste à ce point de vue que les courbes du deuxième degré furent étudiées d’abord par les géo* êtres. Ainsi dirons-nous fréquemment, pour abréger: section conique ci même conique, nu lieu de courbe du second degré.

DES COL'RBES DL' DEUXliiHE DE(;ilE.

134. Comme nous aurons souvent à employer dans le cours de ce Chapitre la transformation des coordonnées, nous allons chercher ce que devient l’équation générale du second degré lorsqu’on transporte les axes parallèlement à eux-mêmes ii une nouvelle origine (x', >•')■

Remplaçant, dans l’équation générale, r et r par x -f- x.', y (n° 8), il vient

Développant et ordonnant, nous voyons que les coeflicienis respectifs a, 2/1, b de x=, xr, r’ n’ont pas changé, et que g,f, c ont pris les nouvelles valeurs c' indiquées ci-après ;

g' = ax' -I- g,

b' ~ hx’ -4- by' -y f,

c'r=rtx'’-t- ohx'y' by'’-y 2gx'-h 2/|v'-t- c.

Donc, si l’on rapporte à de nouveaux axes parallèles aux anciens l’équation d’une courbe de second degré, les coefficients des termes du degré le plus élevé ne changent pas, et le nouveau ferme absolu est le résultat de la ^bstitu(i'2Ji fe.i^ coordonnées de la nouvelle, Qjigi ne auxj-ooriloiinées courantes ^ dans l'équation primitive (*).

133. l ue courbe du second degré est toujours reniontrée par une droite en deux points réels, ceïneidenls.oa imaginaires. /

Ce théorème résulte de ce que, pour déterminer les points d’intersection d’une droite >■= ntx 4 n avec une coni(|ue, on obtient une équation du second degré.

Ainsi les points où la conique rencontre les axes sont donnés par les équations (84)

rt.r’ 4- ’i-gx 4- c = O, by'' 4- 2 fy 4- c = o.

(•) Ce théorème est é|»alenienl vrai pour \cs équations de degré «pudeonque; on le démontre de la même manière.