CP~/;N

mais le premier rapport est constant, puisque scs deux ternies sont constants; les distances de pau pointO et à la droite MN sont donc dans un rapport constant OC ; CP ; par suite le lieu du point p est une conique ayant O pour foyer, MN comme directrice correspondante et 0(' : CP pour excentricité. L’excentricité de cette conique est supérieure, inférieure ou égale à l’unité, suivant qu^ le point O est en dehors, en dedans du cercle ou sur le cercle.

Donc : La polaire réciproque d'un cercle est une section conique ayant l’origine pour foyer, la droite correspondante au centre pour directrice, et qui est une ellipse, une hyperbole ou une parabole, suivant que l'origine est intérieure, extérieure au cercle ou sur le cercle.

MÉTHODE DES TOLAIRES RÉCIPROQLES. 3()7

309. Ce qui précède nous permel de déduire du lliéorèino <lu 11° 307 un cerljin nombre de propriétés rebuives aux angles.

Les angles compris entre deux ' La droite menée au fover par le tangentes au cercle et leur corde de point d'intersection de deux tancentacl sont égaux. gentes à une conique est la bissec-

trice de l'angle sous lequel est vue du foyer la corde de contact (f!H ).

En cITel, l'angle compris entre une tangente PQ (//". g4) et la corde de contact PP' est égal à l’angle sous lequel est vue du loyer la droite qui joint les points correspondants p et q ; de même l'angl e QP'P est égal à l'angle sous lequel est

vue la droite p' q, et comme OPP' = OP'P. •'< pOq — p'Oq.

La tangente au cercle e.st perpen- | diculaire au rayon qui passe par le ' point de conlaid. |

L’angle sous lequel est vue du foyer la droite qui Joint un point d’une conique à l'intersi'clion de la directrice avec la tangente en ce i [loint, est un angle droit.

Ce tliéoreme se démontre comme le précédent, en se rap-

pelant «pie la directrice de la du cercle.

La ligne ipii joint le [Mile d'une droite au centre du cercle est per- (lendirulaire à cette droite.

La droite qui Joint un point au centre du cercle fait des angles égaux avec les tangentes menées au cercle par ce point.

Lo lieu des intersections des tangentes au cercle qui se cou|X‘nt sous un angle ilonné est un cercle concentrique au premier.

L’enveloppe des cordes de contact des tangentes qui se coupent

coiiiqu(> correspond au centre

La droite qui joint à un point, I l’intersection de lu direct rire avec la I polaire de ce point, c.-t vue du foyer sous un angle droit.

La droite qui joint au foyer l'intersection d’une corde a\ec la directrice est la bissectrice de l'angle - formé par les rayons vecteurs menés du foyer aux extrémités de la . corde.

I L'eiuelo|i|>e des cordes vues du foyer d'une conique sous un angle constant est une autre conii|ue ayant avec la première une direc- ■ tricc et un foyer communs, i Le lieu de l’intersection des tan- I gentes dont la corde de contact est

3()8 CIUI'ITRE XV.

S0I15 un iin^'c constant est un ccr- ' vue du foyer sous un angle donné cle conccnlriiiue. est une conique ayant a\ec la pre-

mière une directrice et un foyer communs.

Si une droite fixe coupe une série do coniques ayant une directrice et un foyer communs, l'enveloppe des tangentes aux coniques menées par les points de rencontre est une conique tangente à la droite ls\e et à la diri'ctrice commune et ayant avec les conitpics propos«Vs un foyer commun.

Si l’on suppose, dans ce dernier tliéoréine, que la droite fixe est à l’infini, on voit que : L’enveloppe des asymptotes d’une série d’hyperboles ayant une directrice et nu foyer communs est une parabole tangente à la dintcirice commune, et qui a pour foyer le foyer commun.

Lorsiyuc par un point fixe on mène des tangentes à une série de cercles concentriques, lo lieu des points de contact est un cercle ipii passe par le [loint fixe et le centri' des cercles.

Si par un point d’une circonfj- ' lieu du sommet d’un angle

ronce on mène deux cordes i>i"r|K'n- I droit circonscrit à la parabole est diculaires, la droite qui joint leurs la directrice, extrémités passe par le centre.

Nous disons une ptmwole, puisque, le point par lequel on mène les cordes étant (iris pour origim>, la polaire du cercle

est une parabole (308).

L’enveloppe des cordes d’un ccr- ' cle qui sont vues sous un angle I constant d’un point fixe de la eir- I conférence est un cercle conccnlriqne. j

Le lien des sommets des triangles ayant mémo base et même angle opposé à eetlo bas<> est un cerele ipii passe par les extrémités de a*tte ba.si'. 1

Ij' lien du sommet d'un angle do grandeur constante circonscrit à la paraliole est une conique ayant même foyer et même directrice.

Étant donnés de position deux cotés d’un triangle, et l’angle sous lequel le troisième est vu d’un point fixe, ce troisième côté enveloppe une conique qui a pour foyer le point fixe et qui est tangente aux deux côtés donnés.

hEtiiode des polaires réciproques. 399

Le lieu de.s sommets des angles j Dans une conique l’enveloppe de droits circonscrits à une ellipse ou ^ la corde vue sous un angle droit, à une hyperbole est un cercle. | d'un point de la coniipie, est une

I conique ayant ce point pour foyer.

Les pieils îles perpendiculaires abaissées d’un point de la ciieonférence sur un I riangle inscrit sont en ligne droite ( l’io).

Si l'on prend le point du cercle pour origine, au triangle inscrit dans le cercle correspond un triangle circonscrit à une parabole; au pied de la perpendiculaire abaissée sur une droite corresponil une droite menée par le point correspondant perpendiculairenienl au rayon vecteur issu île l'origine. Donc : Les perpendiculaires menées par les sommets d’un triangle circonscrit à une parabole, aux droites qui joignent ces sommets au foyer, passent par un même point ; et le cercle qui a pour diamètre le rayon vecteur mené du foyer à ce point passe par les sommets du triangle circonscrit. Par siiitc t Le lieu des foyers des paraboles inscrites dans un triangle est le cercle circonscrit à ce triangle, {ii’.i, Cor. 1\ ).

Le lieu du pied des perpendiculaires (ou dos obliques également inclini’H's sur les langentes) abaissées du foyer d'une ellipse ou d'une | hyperbole sur les tangentes est un j cercle. 1

Si par un point on mène dos rayons vecteurs à un cercle, l'enveloppe des perpendiculaires élevéï'S à CCS rayons par leurs extrémités (ou des droites également inclinées sur ces rayons) est une eoniipie qui a lo point ÜM! pour foyer.

310. Les théorèmes relatifs à la grandeur des lignes passant par l'origine peuvent se transformer au moyen du premier théorème énoncé au n" 307. Prenons un exemple.

La somme (ou la dilVérence si l’origine est en dehors du cercle) des distances de l'origine à deux tangentes parallèles est constante et égale au diamètre du cercle.

A deux parallèles correspondent deux points situés sur une droite passant par l’origine; donc : l.a somme des inverses des segments des cordes focales d’une ellipse est constante.

D’ailleurs (193, Ex. 1) celle somme est égale à quatre fois l’inverse du paramètre, et comme elle ne dépend que du rayon