CHAPITRE XVII

pouvoni, du rostp, êiro rùels ou imaginaires. Kériproqueincnl : ./ un (tiif^le droit de la figure primitive correspond en projection un angle dont les côtAs forment un faisceau harmonique avec les droites qui joignent la projection du sommet à celles des lieux points imaginaires et à l'infini du cercle.

KXKIU'.lf.l'S.

I. La tangente au rercle est. per- Toute corde d'une conique est

pcndiculaire au rayon. divisée liarmoniquement par une

tangente, et par la droite qui joint au point do contact de cette tangente le ptMe de la corde donnée 1 (Ht!).

lin con.ddérant la corde de la coni(pie coimno la projection de la droite à rinfini située dans le plan du cercle, les points où la corde rencontre la conique sont les projections des points imaginaires à l infini du cercle, et le p61e de la corde est la projection du centre du cercle.

II. lai droite qui joint le foyer La droite passant (lar un point

d'une conique au pôle d'une corde forme avec lu droite qui joint son

focale est perpendindaire à cette |>ôle à ce point et les deux tangentes

corde (lOi). menées par ce point un faisceau

liarmonique ( 1 iG).

l,a première de ces propriétés n'est écidemment qu’un cas particulier de la seconde, puisque 1rs tangentes menéi-s par le foyer sont les droites qui joignent ce foyer aux points imaginaires d’un cercle.

III. Déterminons, en |>artant de l’Exercice VI du numéro prc'cedent. le lieu des pôles d'une droite fixe par rapport à un système de coniques liomoforales. la-s conicpies ayant mêmes foyers sont inscrites dans le môme quadrilatère (279). Une des diagonale^ de ce quadrilatère est la droite (]ui joint les foyers : donc (3>’I5, Ex. VI), le point formant une division liarmonique avec les deux foyers , et l'intersection de la ligne des foyers par la droite fixe, est un point du lieu. L’autre diagonale est la ligne à l'infini, et puisque ses extrémités sont les points imaginaires du rercle, le lieu cherché est une [Ktrpcndiculaire à la droite fixe, et se trouve ainsi complètement déterminé.

IV. Deux toniques lioraofocales Lorsque deux Cüni(]ues .sont in-

se Cüuiieril à anjjle droit. scrilcs dans le môme quadrilatère,

les deux tanjjentes menées par un do leurs points d’intersection divisent liannoniquement une diagonale quelconque do ce (piadrilatère.

Ce théorème est un cas particulier du théorème réciproipie de l'Exercice I du n" 3 Ci.

V. U' lieu des sommets des an- Le lieu des sommets des angles

gles droits circonscrits à une co- circonscrits à une conique, et dont nique à centre est un cercle. les cotés divis<‘nl harinoniqueineut

une droite do longueur .Ml est une conique passant [lar les |)oints A et B.

Ce dernier théorème peut (l i<>) encore s'énoncer do la manière suivante :

Le lieu d'un point U tel, que la droite menée do ce [loiut au pôle do AO passe par le point B, est une coni(iue passant par les points .V et B. Ou peut du reste le démontrer directement en prenant quatre positions de .\0, et observant (i07, E\. 11) (|ue le rapport anhannonique des qualn> droites AU est égal à celui des quatre droites correspondantes BU.

VI. Le lieu des sommets des an- Si, dans l'Exercice précédent, la

gles droits circonscrits à la para- 1 droite AB est tangenle à la coniipie bole est la directrice. 1 donnée, le lieu des jmints ü est une

; droite qui passe par les points de I contact des tangentes menées par A et B.

VII. Le cercle circonscrit à un | Les six sommets de deux triangles triangle autopolaiio par rapport à autopolaires par rapport à une cuune hyperbole équilatère passe par | nique sont situés sur une même le centre de la courbe(2i8. Ex. IV). 1 conique.

Les asymptotes d'une hyperbole équilatère étant perpendiculain>s, la droite à l’inlini rencontre la courbe en deux points qui forment une division harmoni(|ue avec les deux points imaginaires .\ cl B du cercle. Et comme le centre C est le pôle do AB, le triangle t^AB est autopolaiie par rapport à riiyperbole équilalôrc. D'où le théorème rér,ipror|uc : U's six côtés de deux triangles autopolaires, par rapport à une coniipie, touchent une mémo coniipie.