CHAPITRE XVII

VIII. P.ir un point d une conique, on mène deux cordes à .ingle droit ; la corde qui joint leurs extrémités passe par un point fixe (181 , Ex. II).

Un faisceau harmonique a son sommet sur une coniipie, deux de ses rayons soni fixes : la corde (pii joint les extrémités ih-s autres rayons pas.se par un [>oml fixe.

Autrement, étant donni's deux points n, c d'une conique et un rapport liaimoni(]ue (iihcrl), la corde lui passe par un point fixe qui se troiue à l intersection des tangentes en « et c. Ce théorème peut se démontrer directement.

Soit K l’intersection de ne avec lui, pui.sipie (a, abril] est un faisceau harmonique, la tangente en « rencontre ér/ en un point (|ui forme avec h, il et K une division harmonique; il en est de même de 1a tangente en r : donc hil pas.se jiar l'interst-ction des tangentes en u et en c. Comme ras particulier, nous avons le tluorème suivant :

Par un |>oint fixe d’une conique, on mène deux cordes faisant des angles égaux avec une droite fixe; la corde ()ui joint leurs extrémités passe par un point fixe.

:î;i7. Les couples de droites menées par iin point fixe, de telle sorte que les deux droites de chaque couple fussent des angles égaux arec une droite fixe, déterminent, sur la droite il l'infini, un système de points en involution dans lequel les points imaginaires et il l'infini du cercle sont conjugués.

Ces cotiples déterniincnl evideimneni, sur une droite quelconque, un système de points en involution dont les loyers se irouvenl sur les bisseeirices inlérieure et exlc'rieiire eonimiines à tous les roupies. Les deux points à rinfini appartiennent à ce système, puisque ces bissectrices forment, avec les rayons qui correspondent à ces jioints, un faisceau barmoni()ue.

Les tangentes menées par un point • à un système de coniijues homofo- | cales font des angh>s égaux avec ' deux droites fixes (18!)).

Les tangentes menées par un point à un système de coniijues inscrites dans le même quadrilatère déterminent sur une diagonale quelconque de ce quadrilatère un système de points en involution auquel les extrémités de celte diagonale appartiennent comme points conjugués (3ii).

MÊTIlUDE nss PROJECTIO>S.

3.')8. Deux (Iroiles issues d'un point fixe et comprenant un ait"le constant forment, arec les droites qui joignent ce point fixe aux points à l'infini du cercle, un faisceau dont le rapport an harmonique est constant.

SoiciU a-r=o, >' = o les é(|ualions des ^leux droites compremiu un angle consianl 0, la direction des points à rinfini du cercle sera donnée par la relation

x' •+■ + 2 r >-cos 0 = 0,

et si l'on décompose cette of|uation en ses deux facteurs, on voit (o7) que le rapport anharmonique des quatre droites est constant lorsque 0 est constant.

l'XERCICES,

I. I.e lliéerèmc relatif à l'ég.nlité des angles in^crils dans un mCmc segment de circonférence n’est, d'après ce (pii précède, que l'énoncé particulier de la propriété anharmoni(|ue do quatre points d’un cercle, dans le cas où deux d'entre eux sont à rinfini.

II. L’enveloppe de la corde d’une coniipie, vue du foyer sous un angle consianl , csl une aulre conique ayant même foyer et même directrice que la conique donnée.

111. Le lieu décrit par le sommet d’un angle constant circonscrit à la parabole est une liy|)orbole ayant même fover et mémo directrice.

IV. Par le loyer d’une coni(]ue, on mène des droites également inclinées sur les tangentes; le lieu

Par le point O, on mène à une coniiiue deux tangentes en T et T’; on prend sur la conique deux points A et II tels, que (0, ATHT') soit constant : l’enveloppe de HA est une conique tangente, on T et T', à la conique donnée.

On mène à une coniciue deux tangentes déterminant une division nriliarmonique donnée, sur un segment AB d’une tangente fixe : le lieu de l’intersection de ces deux tangentes est une conique qui touchelaprcmièreaux points decontact des tangentes menées imr A et B.

Sur une tangente quelconqtie à une conique rencontrée en T, T' et M par deux tangentes et une

CIIAI'ITIIK XVII.

dos intersections des droites et des tangentes est un cercle.

•droite fixes, on prend un point P tel, que (l'T.MT') soit constant; le.

lieu du point P est une coniciue passant par les points d’intersections des tangentes fixes avec la droite fixe.

Le théorème qui suit n'est qu'un cas particulier du précédent ; Le lieu du point où le segment déterminé sur une tangente variable par deux tangentes fixes est divisé dans un rap(Kirt constant, est une hyperbole dont les asymptotes sont parallèles aux tangentes fixes.

V. Le sommet P d'un angle constant TPO glisse sur un cercle, un de ses côtés UP passe par un |ioint fixe O, le deuxième côté TP enveloppe une conique ayant le point O pour foyer.

, On donne le rapport anharmonique d'un faisceau , trois de ses rayons tournent autour de trois points fixes .\, B. C, tandis que son sommet glisse sur une conique pa.ssant par A et B; l’envelopiio du I quatrième rayon est une conique 1 tangente aux droites CA, CB.

Kl comme cas particulier : Par un point quelconque P d'une coni(|ii(î on mène, à deux de ses points fixes A et B, deux cordes (jui déterminenf sur une droite fixe un segment variable; l'cnvelopiic de la droite PM, divisant ce .>;egment dans un rapport donné, est une conique tangente aux parallèles menées par A et B à la droite fixe.

VI. Le sommet P d un angle con- I stanl TPOglissC sur une droite fixe; | un de ses côtés passe par un point ; fixe O; l'autre côté enveloppe une parabole ayant le point O pour i foyer.

On donne le rapport anharmonique d'un faisceau; trois de ses rayons passent par trois points fixes, tandis que son sommet gli.sse sur une droite fixe; le quatrième rayon enveloppe une conique inscrite dans le triangle formé par les points i donnés.

351). ])ans ce (|ui précède, nous avons exposé la méthode géométriciue au moyen de laquelle on peut déduire les projiriélés d'une ligure de celles d’une autre figure corrélative, non pas comme au Chapitre XV (de manière à ce que les points de rune correspondent aux tangentes de l’autre), mais de telle sorte que les points correspondent aux points et les tangentes aux tangentes.

L’annijse peut aussi conduire au même résultat.

Considérons deux triangles de référence ajant respectivement pour côtés a, b, cela', b', c'; une même équation en coordonnées trilinéaires représentera deux courbes dilïérenles, mais de même degré, suivant qu’on la considérera eoinmc se rapportant au premier ou au second de ces triangles ( * ); et les mêmes é(|uations serviront, par une interprétation dilVérentc, à établir les propriétés correspondantes des deux courbes.

Une droite d'un système correspomi toujours à une droite de l’autre, sauf dans le cas de l'équation ax 4 b^ ■+■ cy — - o, qui représente une droite située à rinlini par rapport au premier triangle et une droite située à une distance Unie par rapport au second; de même, a'x b' ^ -h c' y — o représente une droite à l’inlini relativement au second et une droite située à une distance linic relativement au premier. Mais l’étude des coordonnées trilinéaires montre facilement comment il est possible de généraliser les théorèmes où il est question de droites à l’inlini ('278, Ex. Il . Ainsi, pour obtenir le lieu des centres des coniques inscrites ou circonscrites à un (|iiadrilatèn“, il suffit de cberclicr le lieu du pôle de la droite à l’infini ax -i- bp -+■ cy, et le même jirocédé peut servir à trouver le lieu du pôle d’une droite ax -f- up -h vy par rapport à des coniques assujetties aux mêmes conditions.

Le rapport anbarmonique d'un faisceau P — A P', P — /P',... ne dépend que des cT>nstantes/i, /, ... (5!)), et reste constant lorsque les droites représentées par P et P' viennent à changer. Par suite, dans le mode de transformation <|ue nous venons

(•) Il t»î*t l'iicilc do voir que ]ioiir rapportor au prfinier trian^lo la courl»»* ohtonuo (‘n iiitorprolaiit l’cquation par rapport au si^t'oiul lriaii{'K‘y il siiflU do romplaccr, dans IVquation doiinéo .3 et •/ par

iMi représentant par /« -f- /« .3 «y la droite correspondante à a, ele. On trouvera de plus amples renseij»nemenls au sujet de eette nielhode do Irans* formation dons la deuilènio Partie de la Crométne atmijdtfue de .M. Salmon {^Higher Plane Cnrees^ Chap. VI}.