CHAPITRE XVII

d’indiquer, à un faisceau de quatre droites dans un système, correspond dans l'autre un faisceau ayant même rapport anharmoniipie; à quatre points en ligne droite correspondent quatre poinis ayant même rapport anliarmonique.

( lie équation S = o,qui représente un cercle ilans le premier système, ne représente pas, en général, un cercle dans le second. Mais, puisque l'équation d’un cercle quelconque du premier peut se mettre sous la forme

S + (cra -t- -t- cy )(). a -1- V/ ) - O,

toutes les courlies du second système corresiiondant à des cercles du premier passent par les deux points communs à S et à « a -t- /> jj -I- cy.

3(iÜ. Nous sommes ainsi conduit, par une voie purement aiialytitiue, à un princi()e très-important découvert par l’oncelet, (|ui en a donné des ap|ilications nomijreuses dans sou /’/'rti/é des propriétés projectiles, le principe de continuité. Ce principe, en vertu dm|uel les propriétés relatives à une ligure dont les lignes et les points sont réels subsistent lorsqu'une partie de ces points ou tie ces lignes devient imaginaire, se démontre [iliis facilement, du reste, |iar l’analyse ijne par la géométrie. L(>s procédés analytiques ne tiennent, eu elïet, aucun compte de la distinction si importante, en géométrie, du réel et de l’imaginaire. Ainsi, par exemple, le procédé employé au Chapitre XIV pour déterminer les propriétés du système de coniques n'présentées par des équations de la forme S =1-- /. H — est toujours le même, que les points d’intersection de x ei ji avec .S soient réels ou imaginaires.

D’une inopriété donnée d’un système de cercles on ne peut déduire, par une projection réelle, qu’une propriété relative à un système de coniques passant par deux points imaginaires; tandis qu’il est impossible de démontrer cette dernière propriété, en parlant de ré(|uaiion générale, sans la détnontrer en même temps pour les coniques ayant deux poinis réels communs.

La méthode analytique de transformation indiquée au nu-

mcro prccédenl s’applique égalemenl lorsqu’à des points réels d’une figure on fuit correspondre des points imaginaires de l’auire. Ainsi, par exemple, + |3’ = y’ représente une courbe qui coupe la ligne y en des points imaginaires; mais, si l’on remplace a, ^ par P±Q\ — i, et y par II (P, Q, Il désignant des droites), on obtient une nouvelle courbe qui est coupée en des points réels par la droite H correspondant à y.

Toutefois, la méthode des ])rojections présente d’assez grandes différences dans les applications, suivant qu’on la considère comme géométrique ou comme anillj ti(|ue. Dans la méthode géométrique, on diblnit le théorème général il’tin théorème particulier relatif soit au cercle, soit à un cas simple de la figure, théorème démontré d’abord. Dans la méthode analytique, on démontre immédiatement le théorème général, et on en déiluit ensuite les théorèmes particuliers, parce ((u’au moven de l’analyse il est aussi facile de démontrer un théorème général (|u’un théorème particulier.

§ II. — Des sections pl.vnes du cône.

361. /.es sections faites dans un cône par des plans parallèles sont semblables.

Menons par le sommet O du cône des droites quelconques OA, on,. . ., elles rencontreront les plans des sections en des points A, ll,...,rt, />,... qui se correspondront deux à deux,

ainsi que les rayons vecteurs AB,..., (d>, Les deux triangles

OAB, Oab sont semblables: le rapport de ABà oè, égal à celui de OA à On, est constant. Les rayons vecteurs d’une section sont donc, avec ceux qui leur correspondent dans l’autre, dans un rapport constant; par suite (233), les deux sections sont semhlahles.

CoioHaire. — La section faite dans un cône à hase circulaire par un plan parallèle à cette hase est un cercle.

Ce corollaire pourrait se démontrer diretement en prenant pour A et a les centres des cercles.

CIIAPITRK XVII.

3G2. La section (rnn cône à hase circulaire est une ellipse, une hyperbole ou une parabole.

Un cône à liase circulaire esl droit lors(|iie la droite iiieiiée par le sommet au ccnlre de la base est perpendiculaire à cette base, et alors celte droite s’appelle axe du cône.

Un cône est oblique lorsque celte droite est iddique par rapport à la base.

Nous délermiiierons d’abord la nature des secliiuis faites dans un cône droit.

Prenons pour plan de la ligure le |)lan OAB conduit par l’axe OC du cône [fig. io5) perpendiculairement à celui de l.r

Fi{[. io5.

Lit

section MSxN. Il coupe le cône suivant les droites OA et 015, le plan sécant suivant MN, et la base ASI5 du cône suivant AB. 1,’inlerseciion HS de la base, avec le plan sécant est perpendiculaire an plan de la ligure.

1° (.onsidérons d’abord le cas où la droite MN reuconire les côtés OA et 015, comme il est indii|ué dans la Jîj’. io5, c’est-à-dire il'un même côté du sommet O.

1-e plan asb mené parallèlement à la base par un point s de la section coujic le plan de la ligure suivant ab, le plan sécant suivant rs, et le cône suivant un cercle. On a, d’après un ibéorème connu,

KS’ = AR.RB.

MÉTHODE DES |■Rl)JECTIO^S.

US ciaiil mio ordonnée du cercle; de mèinc!

4Gi

rs= fir. rh.

1.0 coinporaison des Iriangles semblalïles AUM et arW, BUN />cN donne la proportion

AU . BU : MB . UN : : ar. rh : M ; . ; N ;

|iar suite,

BT;7i’;-. MB.BN:Mc.;N.

Le carré d'ime îles ordonnées rs de la section est ainsi dans un rapport, constant avec le rectangle des segments ijnVIle détermine sur MN ; cette section est donc une ellipse { l'i-!), 111) ayant MN pour giand axe, et dont le petit axe a.éest donné par la pioportion

.{/è:MN’ us'; MR. UN.

La droite M\ rencontre les deux droites OA, OB de [larl et d’antre du sommet (y/^.io6).Kn suivant la même marche ipie

Fiij. io6.

dans le cas précédent, on trouve que le carré de l’ordonnée rs est dans nn rapport constant avec le rectangle Mc. rN des