Une équation de la forme mx représente une
droite OP située dans les angles YOX, Y'OX' ; car il résulte de celte équation qu’à une valeur positive de x correspondra une valeur positive de y, et à une valeur négative de x une valeur négative de y. Les points représentés par cetie équation auront donc leurs deux coordonnées à la fois positives ou à la fois négatives : par suite, ces points ne pourront se trouver (n° 4) que dans les angles YOX, Y'OX'.
Au contraire, pour que l’équation — mx soit satisfaite, il faut que j'soit négatif si x est positif, ou |)ositif si x est négatif. Les points satisfaisant à cette équation auront donc leurs coordonnées de signes différents : par suite, la droite que représente l’équation se trouvera ( n° 3) dans les angles Y'OX, YOX'.
20. Cherchons maintenant l’équation de la droite PQ {/ig. i6) située d’une manière quelconque par rapport aux axes.
Menons par l’origine une parallèle ORà QP, et soit R le point de rencontre de OR et de l’ordonnée PM. 11 est évident { n“ 18) que le rapport RM ; OM est constant (on aura, par exemple, RM = m.OM); mais l’ordonnée PM diffère de RM tie la quantité constante PR = OQ = l>; nous pourrons donc écrire
PM = RM -H PR ou PM = /n.OM-4-PR,
DE LA LIGNE DROITE
r’esl-à-dirc
y = mx + b.
Celle éqiialion, élanl salisfaiic par tous les poinls de la droilc QP, sera par suile l'équalion de celle droilc.
Fig. i6.
Il résiille du numéro précédent que m sera positif ou négatif suivant que la parallèle OR à QP se trouvera dans l’angle YOX ou Y'OX. D'autre part, h sera positif ou négatif suivant que le point Q, où la droite rencontre l’axe des y, sera au-dessus ou au-dessous de l’origine.
Réciproquement, l’équation y=mx + b représente toujours une ligne droite. En mettant, ce qui est possible, celte équation sous la forme
et menant QT parallèlement à OM, on aura
TM=A,
et, par suile,
PT=j-A.
La proposition ci-dessus revient donc à « trouver le lieu d’un point tel, qu’en menant par le point une parallèle PT à OY Jusqu’à la rencontre de la droite fixe QT, on détermine un segment PT qui soit à QT dans un rapport constant. » Et ce lieu est évidemment une droite PQ passant par le point Q. L’équation la plus générale du premier degré,
peut évidemment se ramener à la forme j = /«j.- -t- 6, puis-
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a4 CHAPITBE II.
qu’elle csl équivalente à
Elle représente donc toujours une ligne droite.
21. Ce que nous venons de dire plus haut permet de préciser la signification géométrique des constantes qui se trouvent dans l'équation de la ligne droite. Si la droite représentée par l'équation y = mx -4- h fait un angle « av^c l’axe des x et un angle p avec l’axe des >-, on a (n® 18)
sina
et, si les axes sont rectangulaires,
m = tanga.
D’ailleurs (n“20) b est le segment déterminé par la droite sur l’axe des y.
L’équation étant donnée sous la forme A x -i- Bj -h C= o, peut se ramener comme précédemment à la forme y—n\x-\- b; on trouve alors
A sina B ~ sinp’
ou, si les axes sont rectangulaires,
— Q = tanga:
et le rapport — ^ représente le segment que la droite deter-
mine sur l’axe des
Corollaire. — Les droites r= mx b, y = m'x -4- b' sont parallèles si nt — m', puisqu’elles font toutes deux les mêmes angles avec les axes. De même les droites Ax -4- B.r-4-C =o. A'x -4- BV -4- C' = O sont parallèles lorsque
Avant d’aller plus loin, nous allons faire connaître deux
DE LA LIGKE DBOITK. b5
formes différenies sous lesquelles on mei fréquemmenl l’équation de la ligne droite. ’
22. Trouver Têqualion d’une droite MN [Jig. 17 ) en fonction des segments OM = a, ON = l> quelle détermine sur les axes.
Nous pouvons déduire oettc équation de l’équation déjà connue
Ax+ B)- -f- C = O ou
Cette dernière équation, devant être satisfaite par tous les
Fig. 17.
it
points de la droite, le sera par le point M(x = a, j' — o) (n° 2); nous aurons donc
Elle le sera de même par le point î\{x — o, y — b), donc
Portant ces valeurs dans l’équation générale, elle devient
Cette équation est indépendante de l’angle que font entre eux les axes de coordonnées.
La position de la droite varie évidemment avec les signes des quantités a et b. Ainsi, à l’équation - -j- qui donne
des quantités positives pour les segments faits sur les axes.
DE I.A LIGNE DROITE
L’équation de la droite MN est (n° 22)
Multipli.Tnt cette équation par p, il vient
Mais -
Si les coordonnées sont rectangulaires, ce qui est le cas le plus fréquent, (3 = 90°— a, et l’équation de la droite devient
jTCOSa 4-/sina = /).
Si l’on suppose que oc puisse prendre une valeur quelconque comprise entre o et 36o degrés, cette équation présentera quatre cas particuliers correspondants à ceux de l’équation du n“22. Si la droite a la position NM'(/îgf. 17), a sera compris entre 90 et 180 degrés, et le coelficicnt de a: sera négatif; si elle a la position M'N', oc sera compris entre 180 et 970 degrés, les coefficients de x et dc r seront tous deux négatifs; enfin, si elle a la position MN', oc étant compris entre 270 et 180 degrés, le coefficient de x s*'*’'* négatif. Néanmoins, dans ces deux derniers cas, il sera plus commode d’écrire l’équation sous la forme xcosa -t- jsina = — />, et de regarder oc comme l’angle, compris entre o et 180 degrés, que le prolongement de la perpendiculaire fait avec la direction positive de l’axe des X, Par suite, dans l’emploi de la formule
X cosa -f-fsin oc = p,
nous supposerons p susceptible de recevoir le double signe, et nous prendrons pour oc l’angle, toujours inférieur à 180 degrés, que la direction positive de l’axe des x fait avec la perpendiculaire ou avec son prolongement.
On peut facilement ramener à la forme x eosa -l-^'sina = p, l’équation générale Ax -i- -f- C — o; car, en divisant tous
^ X + rx = p.
■ cosa, ^ = cosp, donc l’équation de la droite sera X cos a -(- rcos^ = D.
De LA LIGNE DROITE. -ZQ
expriment respectivement les cosinus des angles que la perpendiculaire abaissée de l’origine sur la droite
fait avec l’axe des .r et celui des y, et que
C sin M
\J\' -i- B’ — 2 AC cos Cl»
est la longueur de cette perpendiculaire. Cette longueur peut, du reste, se calculer plus facilement en (Hvisant le double ( ON . OM sin ca) de l’aire du triangle NOM (Jig. i8) par la longueur de MN dont on connaît l’expression.
Le radical qui se trouve au dénominateur doit recevoir le double signe, puisque l’équation peut se ramener à l’une ou l’autre des formes
X cosa -4-/cos(3 — p = o,
X cos(a -t- i8o“) -(- jcos(P -t- 180°) -4- P =0.
25. Trouver l’angle compris entre deux droites, dont les équations sont données, en coordonnées rectangulaires.
L’angle formé par les deux droites est évidemment égal à celui qui est compris entre les perpendiculaires abaissées de l’origine sur ces droites; si donc ces perpendiculaires font avec l’axe des x les angles a et a', Ax -t- B/ -i- C = o, A'x-t- B'j-i- C' = o étant les équations des deux droites, nous aurons (n°23)
cosa =
cos St
sma
:» sma
V'ÂJhTB’’
VA" -i-B'’’
d’où
