BA'= AB
Corollaire II. — Les droites sont perpendiculaires lorsque AA' + BB'=(AB'+ BA')cos6).
27. On peut toujours trouver une droite satisfaisant A deux conditions.
Toutes les formes sous lesquelles nous avons donné l’équation générale de la ligne droite renferment deux constantes. Ainsi les formes j = mx -(- f», xcosa -t-/sina = /; renferment les constantes m et b, a. et p. La seule forme
semble en renfermer un plus grand nombre; mais dans ce cas on n’a pas à considérer les grandeurs absolues des coefficients, mais bien leurs rapports, car, en multipliant ou en divisant tous les termes d’une équation par une même quantité, on ne change pas la nature du lieu qu’elle représente. On peut donc ramener l’équation Ax -t- Bj -h C = o . . . , AB
a n avoir que deux constantes » j-r en divisant tous ses
VJ
termes par C. Par suite, en adoptant une quelconque de ces formes, par exemple y—mx-\-b, pour celle de l’équation générale de la droite, on peut considérer m et b comme des inconnues qu’il s’agit de déterminer. Lorsque nous aurons deux conditions, nous pourrons trouver les valeurs de m et de b relatives à la droite qui satisfait à ces deux conditions.
Donc
sin(a — a') = sin{a — a') = tang(a— a') =
CHAPITKB II.
Ce sujet sera du reste développé d’une façon plus explicite dans les n" 28, 29, 32 et 33.
28. Trouver l'équation d'une droite menée par un point [x',y') parallèlement à une droite donnée.
droite cherchée devant être parallèle à une droite donnée, la constante m de son équation y = mx + l> est déterminée (n“21. Cor.); puisque en outre cette droite passe par le point {x',x'), son équation, qui doit être satisfaite par les coordonnées d’un quelconque de ses points, le sera par x', y'; on aura donc pour déterminer b, y' = mx'-\-b, et l’équation cherchée sera
y= mx -i-y' — iiix' ou y — y'=m{x — x').
Si dans cette dernière équation nous considérons m comme indéterminée, nous aurons l’équation générale des droites passant par un point donné.
29. Trouver l'équation de la droite passant par les deux points (x’, y'), (x", y").
L’équation générale (que nous venons de trouver) d’une droite passant par un point donné (x', j') peut s’écrire
m étant une indéterminée. Si la droite doit passer en outre par le point (x", y"), cette équation sera satisfaite lorsqu’on y remplacera x et j par x" et^ ". Donc
et, par suite, l’équation cherchée est
Sous cette forme, elle se grave facilement dans la mémoire. En chassant les dénominateurs, on obtient l’équation suivante, qui est d’un usage assez fréquent,
{y'—y")^ — (^' — ^")y-^ xy"—y'x’— o.
DE LA LIGNE DEDITE
On peut meltre aussi celle équation sous la forme
qui représente une droite, puisque les termes en xy disparaissent; on voit immédiatement qu'elle est satisfaite par l'une ou l'autre des liypolhéses x = x',x=y'; x= x", y^y”; et, en développant on retombe sur le résultat précédent.
Corollaire. — L'équation de la droite joignant Yorigine au point (x', y') est
EXERCICES
I. Écrire b's équations des côtés du triangle ayant [lour sommets les points (a, i), (3, — a), (—4, - i).
Réponse, j h- 7 v -i- i i = o, 3j — 3j-t-^ = 7.
II. Même problème; les sommets étant ( a, 3), (4, — 5), (— 3, — (*). Réponse. x — 77- = 3g, g-r— 5»=:3, 4j-<-7'=ii.
