X. Trouver la longueur de cette perpendiculaire

Réponse. ^ — x'cosa — 7''sina).

33. Trouver en coordonnées rectangulaires l'équation d'une droite passant par un point donné (x', r'), rt faisant un angle 9 avec la droite y = mx •+■ b.

Soit

l’équation cherchée, nous aurons ( n” 25)

tang?= .

d'où

m — tanft9 I -t- m tang9

3i. Trouver la distance d'un point (x',y') à une droite XC.0S0L+ ycos^ = p.

Nous avons déjà indiqué (n°32, Ex. IXélX) un procédé pour résoudre celte question, tirais on peut, à l’aide de la géométrie, arriver au même résultat. Soient MN [Jig. 19) la

Fig. 19.

droite donnée, OR la perpendiculaire abaissée de l’origine sur celte droite, QK l’ordonnée du point donné Q.

CIAPITRI II.

Menons QR et KT parallèles, et 0^ {■erpendiciilaire à la droite donnée. Alors

mais dune par suite

OK=x', OT = x'cos«; SQK = p et QK=/',

RT = OS = cos p, x' cos a cos (3 = OR.

Retranclianl de chaque membre la distance OP de l’origine à la droite, on aura, pour la distance cherchée,

x' cos a -t- y’ cos p — /< = PR = QV.

Si l’on avait pris dans la figure le point Q du même cùté de ia droite que l’origine, OR aurait été plus petit que OP, et on aurait trouvé p — x'cosa — jf'cosp pour la valeur de la distance cherchée; cette distance change donc de signe suivant que le point se trouve situé d’un, côté ou de l’autre de la droite. Lorsqu’il ne s’agit que d’une seule distance, on peut ne considérer que sa valeur absolue, abstraction faite du signe; mais quand on a à comparer les distances de deux points, tels que Q et S, il faut nécessairement (n"C) tenir compte des signes de ces distances QVet SV, puisqu’elles se trouvent mesurées suivant des directions opposées. Le sens positif étant en soi arbitraire, on peut prenare, pour représenter la distance d’un point à une droite, l’expression (/> — x' cosa — cosp), soit avec le signe ■+, soi^avec le signe — . En la prenant avec le signe autrement dit en supposant le terme constant positif, on considère comme positives les distances des points situés du même côté de la droite que l’origine, et comme négatives les distances des points qui se trouvent de l’autre côté. Si l’on prenait l’expression avec le signe — , ce serait l’inverse qui arriverait.

Si l’équation de la droite est

Ax -t- B/ C = O,

DS LA LIGRB DBOITB.

en Ifl ramenant à la forme

xcosa -t-^‘COsp — P = O,

on trouve pour la distance du point (x', y') à cette droite

Ax' Br'-i- C (Ax'-+- Br' +C)sin&>

V'A’+B’ V^A> + B’— aABcosû)

suivant que les axes sont rectangulaires, ou otiiii|ues sous l'angle û). En comparant les distances respectives du point {x', y') et de l’origine à la droite, on voit que le point (x', y') se trouve du même côté de la droite que l'origine lorsque Ax" -h B 7^' -f- C a le même signe que C, et inversement.

La condition nécessaire pour qu’un point (x-', y'} se trouve sur une droite Ax + Bj>‘ -t- C == o s'obtient évidemment en exprimant que ses coordonnées x'ct r' satisfont à cette équation, ce qui donne

Ax' -h Bj'-t- C = O.

Cette condition n’est 'donc, d’après ce qui précède, que la ira* duction algébrique de ce fait : que la distance du point à la droite est nulle.

EXERCICES

I. Trouver la distance de l'origine à la droite 3x -h 4y-h ïo = o, les axes étant rectangulaires.