PR0BLË3IF.S SL'R LA LIGNE DROITE

iriquc : la iraduclion algébrique de rcs conditions donne immédiatement l'équation du lieu cherché.

EXERCICES

1. On donne la base AB et la dilTérenco /«’ des carrés des côtés AC, CB d'un triangle ABC; trouver le lieu du s( mmet C.

Prenons la base du triangle pour axe dos x, et la perpendiculaire élevée sur le milieu de celle base pour axe des /. Désignons par c la moitié de la base, et par x, x les coordonnées du sommet.

Fij. Tl.

Nous aurons alors

AC =^’-i-(r X)’ (•), BC .r)',

Âc’— Bc’= 4<-.r.

L'équation du lieu est donc 4cx = Elle représente »une pertiei.diculaire élevée à la base du triangle en un point distant du milieu do ///*

celte basede lacjuantité-r = — ■ Il est facile de voir que la différence des

carrés des segments que ce point délcrmini; sur la base est égale à la différence des carrés des edUSs.

II. On donne la base AB et la quantité rot A ni cotB = /> {fg. 22) ; trouver le lieu du sommet.

(•) On fait quel<iiH*foi» If* ruisonnement suivunt ! la lipne AR se coni|»o>c de deux parties AM = — cet MR = .r, sa longueur est — ch-x et non pus

c-t-x; donc AC *H-(x — c)’. Mais on doit oliservcr que le signe d’une longueur ne de|>end pas du cAté de l’origine où elle se trouve, mais bien du sens suivant lequel elle est mesurée. Mous allons de à R dans le sens positif, en prenant d’abord dans cette din*ctinn .AM = r, puU ensuite MR=^x; donc AR C-+-X. Pour aller de R à R, nous suivons d'abord le sens négatif en prenant RM = — x; puis, revenant en sens contraire, nous prenons MR=^ c; donc RB = c — X.

CRAPITIE III.

Il est évident, d'après la figure, que

. , AR c -I- .r

cotA-^-

cotB =

L’équation cherchée est donc

c -t- X -t- l/l {<■ — r) = jiy.

Klle représente une ligne droite.

III. On donne la base AB et la somme ni des deux autres côtés du triangle (yf;». a»); on prolonge la hauteur RC au delà du sommet C de telle sorte, qu’elle devienne égale à un des côtés ; trouver le lieu des extrémités de la hauteur ainsi prolongée.

Prenons les mêmes axes et cherchons la relation qui existe entre les coordounùs du point dont on demande le lieu. L’ordonnée de ce (mint e^t évidemment MR, cl son abscisse est, i>ar hypothèse, égale à AC; on aura donc

BC — III — y;

mais

BC’=ÂB t^Âc’— ïAB.AR.

ou

{iii — v)’= ’ — 4r{r

et en réduisant.

a un — — /«’,

équation d’une ligne droite.

IV. Deux droites fixes OA, OB sont coupées par une parallèle à une troisième droite fixe OC; trouver le lieu des points P qui | artagent les droites AB dans un rappairt donné, c’est-à-dire tel que PA = «AB. Prenons OA et OC pour axes (Jîg. a3); soil,i'= mx l'é<piation de OB.

Ki(j. al.

Puisque le point B se trouve sur celte droite, nous aurons AB = «J. OA,

donc

AP = iii.n.OX.

PROBLftMBS SUR Lk LIGNE DROITE. S']

Mais AP est l’ordonnée^' du point P, OA en est l’dbscissc x; le lieu du point P est donc une droite passant par l'origine et ayant pour équation

= innx,

V. La droite PA, parallèle à OC, comme ci-dessus, rencontre un certain nombre de droites fixes aux points B, B', B*,..., on prend PA proportionnel à la somme des ordonnées BA, B'A,... ; trouver le lieu des points P.

Répo.nse. Les é(|uations des droites fixes étant

y = mx, y = m'x -i- y = m' x n"

celle du lieu sera

ky = mx -h [m'x -+■ «') -l- { m'x -i- //')

VI. On donne les côtés o, b, c,... et la somme w’ des aires d'un certain nombre de triangles ayant le sommet, opposé à ces côtés, commun ; trouver le lieu de ce sommet.

Soient a, b, c les longueurs des côtés, et

X cos* -s- y sina — p = o, x cos^ sin^ — p' — o, . . . ;

leurs équations. Puisque (n"3i) xcosa -+-rsina — p représente la distance du sommet (x,y) à la première droite, n (x cos* j'sin* — p) sera le double de faire du premier triangle, etc. L'équation du lieu seia

« (x cos* -i-j'sina — />)-+-A(x cos^ -s-^sin^ = a«/’;

et comme elle ne contient x et v qu’au premier degré, elle représente une droite.

VII. Cn donne un angle O d'un triangle -24) et la somme des côtés qui le comprennent; trouver le lieu du point P où le côté opposé à cet angle est partagé dans un rapport donné.

Prenons pour axes les (ôtés qui comprennent l'angle; soit ~ '*■

Fie- 3,'|.

rapport donné. Nous déduirons de la similitude des triangles

OK^(r»-s-»)x,