NM. LK

Mais ces quatre points ont même puisqu’ils se trouvent sur une parallèle à la droite j3; leurs distances à a (en raison de réquation des droites OK, OL...)sont donc proportionnelles à k. l, m, n ; et il en est de même des longueurs Ak, AL, AM, AN. Par suite, les longueurs NL, MK, NM et LK sont proportionnelles à n — ni — k, n — m el l — k.

59. Les théorèmes que nous venons de démonirer dans les deux numéros précédents subsistent encore lorsque les équations des droites sont P — /■ P', P — /P',..., en représentant par P et P' les expressions nx -i-èj-t- c, a'x-r-b'y-\-c'. En effet, on peut ramener P à la forme xcos x -i-^-sin x — p, en le divisant par une certaine ipiantité (23), et, par suite, transformer les équations P — /i P'=o, P — /P'=o,... dans les suivantes a — =0, a — /f.^ = O,..., P étant le rapport des quantités

par lesquelles on doit diviser P et P' pour les ramener à la forme a, (3; d'ailleurs la valeur du rapport anharmonique ne change pas lorsqu'on y remplace k, /, m et n par kp, Ip, mp, np.

Considérons les deux systèmes de droites

parlant chacun d’un point différent, et appelons correspondantes les droites telles que P— /. P', Q— /> Q', nous aurons, en remarquant que le rapport anharmonique ne dépend que des coelficients h, /, m, n, le théorème suivant :

Le rapport anharmonique de quatre droites quelconques du premier système est égal à celui des quatre droites correspondantes du second.

Ces systèmes, que nous aurons souvent occasion de considérer par la suite, s’appellent systèmes homographiques.

CO, Les trois droites x, y formant un triangle (*), on peut toujours ramener l'équation d’une dioite ax + by-{- c—o à la forme

Ix /«[j -t- «•/ =: O.

L’équation /a w[3 -t- «•/ = o devient, en y remplaçant a, “P et y par leurs éipiivalents x cos a -t- y sina — p, - • - ,

( / cos X -h ni cos 3 -t- n cos y ) x

-t- ( / sin a -t- m sin j3 -4- n sin y )>• — {Ip + mp' np" ) = o ;

elle sera identique à ré()uaiion donnée lorsque l’on aura

/ cos a H- m cos P -f /icos-/= «, / sin a -t- wsin (3 nsiny — h,

!p -1- mp' -t- np" — — f,

cl l’on pourra toujours déterminer I, m et n, de manière à satisfaire à ces é<|uations.

Les exercices suivants serviront d’éclaircissement.

(•) Nuuh disons: formant nu trianglr. car si les liciios «, yî, ^ sc rcncoiilrcnt en un j>oinl, /a «y rt-prcsfnU* une drniU* paftis'iiil par ce niêmc point,

piiUquc IcH vulcurs des courtluiiiKH's i|ti| uiimilcnt M.‘parcuiciit v, y niiiiiiUMit aussi /a -+- /rî;3 -t- /ly.

CIIAI’ITRB IV.

EXERCICES

I. IX'monirer analytiquomcnl les propriétés du quadrilatère romplel. Soient

les équations des droites