AC, AB, BD, AD, BC
en fonction desquelles nous allons chercher à exprimer toutes les autres lignes de la figure 38).
Fig. 38.
l.'équalion de CD sera
fx — mp -h ti'i — O,
puisque cette droite passe par l’intersection D des deux droites Ix — ;/;f et 7, et par l’intersection C de /«^ — «7 et x. De même Ix — «7 = o est l'équation de OE, puis<|ue OE passe [>ar E ou (», 7), et par 0 ou (/a — mp, mp — "7)-
La droite EF joint le point E ou (a, 7) au point F ou (/a — «7, 7) ;
son équation sera donc
Les quatre lignes EA, EO, EB, EF forment un faisceau harmonique (.iW), puisqu’elles ont pour équations
a = o, 7 = 0, I X ± ny — O.
La droite FO joint le point F, (/a + ny, p), au point 0,
{Ix — nip, inp — ny);
son équation est donc
Ix — ■imp ■+- ny = o.
Los quatre lignes FE, FC, FO et F.A forment aussi un faisceau harmonique (57j, puisqu'elles sont représentées par
Ix — nip ■+■ ny = 0, ^ = o, Ix — nip ny ± nip = o.
Les quatre droites OC, OE, OD, OE constituent aussi un faisceau harmo-
nique, puisqu'elles ont pour équations
/a — »;p = o, — «7=0, lu — «i^±{«;S — «7) = O.
II. Discuter les propriétés d'un système de droites formé en menant par les sommets d’un triangle ABC des droites AD, BE, CF, se coupant en un même point 0.
Soient *, p, 7, les côtés BC, AC et AB du triang le (fs- 39); - "7.
Fie- 3g.
«7 — /a, — mp les droites AO, BO, CO (voir n° 55).
Les équations des lignes EF, DF, DE qui joignent deux à deux les points ou les droites issues des sommets viennent rencontrer les côtés s’obtiendront facilement. Ainsi l’équation de EF, qui passe par les points E, ou (^, «7 — /a), et F, ou (7, iiip — /*), est
«1^ -H «7 — Ix = O.
On trouverait de même pour l'équation de DF tx — «/ S -H «7 = O,
et pour celle de DE
Les points L, M, N, où les droites EF, DF, DE rencontrent les côtés CB, AC, AB du triangle qui leur sont respectivement opposés sont sur une droite qui a pour équation
tx -t- mp-i- n-j = o;
car elle passe par les points N ou(/a-f-«;^— M ou[/a — ;«^-i-«7,S),
L ou ( mp ■+- n'i — /a, a).
Le côté BN du triangle est di\isé harmoniquement par les droites CN, CA, CF, CB, puisqu’elles ont pour équations
a = O, P = o, /a — «ij} = o, /a-H«(p = 0.
On rencontre assez souvent des cas où l'on peut se servir des équations précédentes. Ainsi (54, Ex. III), l’équation de la droite joignant
CHAriTRB IV.
les pieds de deux linuteurs est «cosA -t- pcosB — ycosC = o ; cl la droite o cosA f cosB ■+■ yrosC = o passe par les puinls d’intersection
des lignes joignant les pieds des hauteurs, avec les côtés opiKisos du triangle. De mémo (.*>4, Ex. IV) la droite a sin A -t- psin B — y sinC joint les milieux de deux côtés du triangle, etc.
III. Deux triangles sont /inninhgiirs lorsque les intersections de leurs côtés corres[)ondants se trouvent sur une droite qui est Vn.re il’/inmoh‘gie; prouver que les droites joignant les sommets correspondants de deux triangles homologues se coupent en même point.
Soient a, y les côtés du premier triangle, Ix -t- -h ny l'axe d'homologie, l'équation du côté du deuxième triangle passant [var l'intersection do a avec, cet axe sera de la forme /'* -e iiip -e //y = o; de môme celles des deux autres côtés seront
/x ■+■ ni'p -h ny — o, /a -t- nip -h n'y = o.
Dés lors les lignes joignant les sommets eorres|)ondanls auront pour équations
(/ — /')». = (/« — ni') p, {ni — in‘) P =: [n — n')y, (n — n']y = (/—/') a. Elles passent par un même point, que l'on appelle centre tVlinmnIngie.
61 . Trouver la eondition pour que les deux droites Ix + ni^ ■+- ny, l'x -+- wi'jâ -H n'y, soient perpendiculaires entre elles.
En remplaçant, cunime au n"GO, a, et y par leurs équivalents, et en avant egard a la relation obtenue n'’2ii, corollaire Il (AA'-t- IIB'=o), on trouve
//’ + nint' nn' -f- ( w;i' -(- m' n ) cos ( — •/ )
-h{nl'-i- n'I) cos {y — a ) -+- ( /m'-i- /'/«) cos(a— p,) — o,
d'ailleurs, P et y étant les angles que font, avec l’axe des .r, les perpendiculaires abaissées sur les droites (3 et y, j3 — y représente l’angle compris entre ces perpendiculaires, cl par suite est égal à l'angle compris entre les deux droites elles-mêmes ou à son supplément. Si l’on suppose que l'origine se trouve dans l’intérieur du triangle formé par les droites a, {3, y, cl que A, B, C, soient les angles de ce triangle, |3 — y sera le supplément de A, et la condition pour que les droites soient per-
pendiculaires pourra s'écrire
//'+ mm' -h tin'— {mn’-i- m'«) cos A
— ( ni' -h n' I) cos B — {Im'-^- ml' ) cos C = o.
Ainsi la droite Ix -+- /« p -f- «y esl perpendiculaire à y, quand on a
« = m cos A + / cos B.
On trouverait de même que, en partant de la formule n“ .34, la distance du point (x',y)à la droite Ix + m^-hny est donnée par l'expression
Ix' -t- m P' 4- n y'
V' f ' «i’ -t- «’ — 2 «m cos A — 2 n/ cos B — 2 /m cos C
où l'on a fait x'= x'cosa -I- >-’sina —
EXERCICES
I. Trouver l’équation de la perpendicalaire élevée à la droite 7 en son extrémité B, où elle eut rencontrée par la droite a. Celte équation est de la forme -+- «7 = o; la condition de perpendicularilé donne n = / cos B, B étant l'angle des droites a et 7. (f'oirn° 3t, Ex. VI.)
II. Trouver l'équation de la perpendiculaire élevée sur le milieu de 7. l.e point milieu de 7 est l'intersection de yavecasin A — ^sinf (a, p, 7,
A, B, C ayant la signification indiquée ci-dessus); par suite l'é(|uation sera de la furme a sinA — p sinB -1- «7 =0, avec la condition
« - sin(A — B).
III. Les trois perpendiculaires élevées sur les milieux des cotés d'un triangle se coupent en un même point.
Les équations de deux de ces droites sont
asin A — ^sinB-i-78in(.\ — B) = o, flsinB — 7SinC -t- a sin(B — C)=-o.
En éliminant successivement a, p, 7 entre ces deux équations, on trouve, pour les lignes qui joignent l'interseclion de ces deux droites au.x trois somet Ô *y
mets, r = - = — : la symétrie de ces équations montre (inc
cosA cosB cosC • ' '
les trois perpendiculaires se coiqienl en un même point.
IV. Trouver, d'après le n" i'i, le sinus, le cosinus et la t ingente do l’angle compris entre les deux droites Ix 4- mp «7, l'x -t- in'p -h n'-/.
CIIAPITRK IV.
