P — X COS X

sin X

OU, en réduisant,

x’ — ipxcosx + p'— r’sin’a =o;

d’où

X = yjcosrt rt sin x\J r‘ —

on trouverait de même

y — P cos X rp cos x y r^ — p‘.

Il est facile de s’assurer, en substituant ces valeurs dans les équations données, que le signe — dans les valeurs de corn;spond au signe + dans la valeur de x, et vice versil.

Puisque nous sommes conduit à une équation du deuxième degré, c’est-à-dire avant deux racines réelles ou imaginaires pour déterminer x, nous devons en conclure, pour faire correspondre le fait géométrique à l’expression algébrique, qu’une droite (juelconquc rencontre un cercle en deux points réels ou imaginaires.

Lorsque p est plus grand que r, c’est-à-dire lorsque la distance de la droite au centre est plus grande que le rajon, cette droite, considérée géométriquement, ne rencontre pas le cercle, et cependant l’analyse donne des valeurs imaginaires définies pour les coordonnées des |)oints d’intersection. Aussi ne dirons-nous pas que la droite tie rencontre pas le cercle, mais bien qu’elle le rencontre en deux points imaginaiies, cl cela parce que nous n’admettons i>as que l’équation du deuxième degré n’a pas de racines, mais bien qu’elle a deux racines imaginaires. Par point imaginaire, nous n’entendons pas autre chose qu’un point ayant une de ses coordonnées imaginaires, ou toutes les deux. C’est là une pure conception analytique que nous ne chercherons pas à représenter géométriquement.

Dü CERCLE.

pas plus que nous n’attachons de signification arithmétique aux valeurs des racines imaginaires d’une équation, La considération des points imaginaires est nécessaire pour conserver à nos raisonnements toute leur généralité; nous trouverons en effet bientôt plusieurs cas dans lesquels la droite joignant deux points imaginaires est réelle et jouit de toutes les propriétés géoméiriques de la droite qui lui correspond quand ces points sont réels.

83. Lorsque p = r,\a géométrie nous apprend que la droite est tangente au cercle, et l’anaivse nous conduit au même résultat, puisque les deux valeurs de x sont égales entre elles, ainsi que celles de y : ce qui signifie que les points correspondant à ces valeurs coïncident. Nous ne considérerons donc pas la tangente comme n'ayant avec le cercle qu’un seul point commun, mais bien comme le rencontrant en deux points cjui coïncident; attendu que l’on ne dit pas que ré(|uation du deuxième degré (]ui les détermine n’a qu’une seule racine, mais bien qu’elle a deux racines égales. Aussi définirons-nous en général la langenle à une courbe comme la droite joignant deux points injiniment voisins de la courbe.

On trouve de même une équation du deuxième degré, pour déterminer les points d’intersection de la droite \x -t- C avec le cercle donné par l’équation générale, et cette droite est tangente au cercle, lorsque cette é(|uation du deuxième degré a ses racines égales.

EXERCICES

I. Trouver les coordonnées de l’intersection de u:’ -i- > ’ = G5 , 3 J- -t-y = i5.

Réponse. (7,4) d (8, >)•

IL Trouver l’intersection de (x — c)’-+- (y — ac)’= a5t’, 4x-c- 3y=35r.

Réposse. La droite tangente au point (5c, 5c).

III. Dans quel cas y = mx -v b est-il tangent à x’ -t- y * = r’ ?

Réponse. Lorsque è’= r’(i -i- /n’).