CHAPITRE VI
DU CERCLE
79. Nous crojons utile, avant de discuter l’équation générale du second degré, d’étudier d'abord le cercle, pour faire voir, par ce cas assez simple, comment on peut déduire de l’équation d’une courbe toutes ses propriétés, sans en avoir fait une étude préalable par les procédés géométriques.
L’équation en coordonnées rectangulaires du cercle (lui a pour centre le point (a, P) et pour rayon r est ( 17)
Si le centre est à l’origine des coordonnées, oti a a = o, (3 = o, et l’équation devient
Lorsqu’on prend pour axe des x un diamètre, et pouraxe des y une perpendiculaire à l’extrémité de ce diamètre, x — r, ^ = 0, l’équation devient
X' + y' — xrx.
t.'es deux derniers cas se rencontrent assez souvent dans les applications.
80. Dans l’équation du cercle en coordonnées rectangulaires, les coeflicients de x' et de y’ sont égaux, et le terme en xy manque.
L’équation générale
ttx^-\- xhxy -4- by^ -t- i"x + -xfy + c = 0
ne peut donc représenter un cercle que si a — b, h —o, et alors on peut la ramener à la forme {x — x)’ y- {y — (3)’=
I lO
CBAPITHE VI.
en suivant un procédé analogue à celui qui est usité dans la résolution de l’équation du deuxième degré. Après avoir, par une division préalable, ramené les coefficients de x’ et de y' à l’unité, il suffit de faire passer dans le second membre le terme absolu, et de compléter les carrés en ajoutant aux deux membres la somme des carrés de la moitié des coefficients de X et de^.
En appliquant ce procédé à l’équation
a{x' +y')-h gx -4- 2 fy + c = o.
on trouve
Les coordonnées du cenire soni — i cl le ravon a
pour valeur
Si g^ ■+■ /’ est plus petit que ne, le rayon du cercle est imaginaire, et l’équation, étant équivalente à
ne peut être satisfaite par aucune valeur réelle de x et de y.
Lorsque g' +f' est égal à ac, le rayon est nul, et l’équation, étant équivalente à
ne peut être satisfaite par aucune coordonnée autre <|ue celles du point (a, P). On dit alors que cette équation est celle du point (a, (3); mais pour des raisons déjà énoncées (73), nous préférons la considérer comme l’équation A'un cercle injinimeni petit. Nous avons vu aussi (73) qu’on pouvait la regarder comme l’équation de deux droites imaginaires (x — a)± (y — I = O , passant par le point (a, (î). De
même l’équation x’-i-y* = o peut être regardée comme celle
DU CERCLE
d'un cercle infmimeni petit ayant l’origine pour centre, ou bien comme celle des deux droites imaginaires ' = o.
EXERaCE.
Ramener à la forme (j — a)’^- ( r — p)‘ les équations
H-.1 ’ — a j: — 4.C = ao, 3jr’-t- 3,i ’ — Sx — -t- t = o.
Réponse.
les coordonnées du centre et le rayon sont, dans le premier cas, (i, a] et 5; et dans le second, cl ^
81. I.’équation du cercle en coordonnées obliques est peu usitée; on l’obtient en exprimant (n” 5) que la distance d’un point au centre est égale au rayon ; on trouve ainsi
(x — ( r — P)’-4- 2(x — a)(y — ^) cüsw=
En la comparant à l'équation générale, on voit qu’elle ne peut représenter un cercle que si a = b, h = a cos oa, et alors, en égalant les coefficients des termes correspondants, on trouve, pour déterminer les coordonnées du centre et le rayon, les équations
0£-t-3cOS4>=: — -■> 3-l-aCOS6> = — — •
a II
«’+ 3’-t- 2«3cos6ü — c’=-.
Les deux premières équations qui servent à déterminer a et P ne renferment pas c, par suite: deux cercles sont concentriques lorsque leurs équations ne diffèrent que par une constante.
Lorsque c = o, l’origine est sur la courbe, puisque son équation est satisfaite par les coordonnées x = o, y = o de l’origine. Cette remarque est générale, et lorsqu'une équation n'a pas de terme absolu, la courbe quelle représente passe par l'origine.
