CHAPITRE Vit

Les droites W, BB', CC', qui joifftieiil les sommets d’un trianj^le à ceux de son triangle polaire, se coupent en un mt‘me point.

Soient (x', (x*. y"), [x", >•*') les sommets A, B, C du premier triangle; les sommets du second seront donnés par les intersections successives des polaires de ces points. L'éijuation de la droite AA' joignant (x', » ') à l’inierseciion de XX* -h yr" — /’= O, et xx" -h yy” — r' — o, sera (40)

{x'x" + y-'y""— r‘){xx* -h jy*— /■’)

— {x’ x” + y' y" — r')(xx'* -hjy'*— r') — o.

On trouverait de même, pour les équations de BB' et C(.', [x'x* + y'j*— r^){xx“+yy'*- r') -{x*x'*->ry"y''- r^)lxx'+yy' - /•») = o, j'/*’— r^){xx' -yyy‘ — r’) -{x'x’+yy"— r‘)(xx*+yy*— H) = o,

et l'on voit que ces trois droites (40) se coupent en un même point.

Nous aurions pu démontrer ce théorème en partant de l’équation générale. Désignons, pour abréger, par P, = o la polaire arx' -h h{xy' -h yx')-i- . . .= o (89) de (x', >•'), par P,, P, celles de {x*, y*), [x",}’); représentons par le symbole (i .a) le résultat \ax'x*-\- A (x"y'-4- y'x')-;-. . .] de la substitution de x" etjr' aux coordonnées courantes dans l’équation de la polaire de (x', y').

Les équations des droites AA', BB', CC', seront

et l’on voit qu’elles se coupent en un seul point. Il s’ensuit (60, Ex. III) que les intersections des côtés correspondants du triangle et de son triangle polaire sc trouvent en ligne droite.

TQfiORKSiBS ET PROBLÈMES SUH LE CERCLE. 1 35

Le théorème suivant n'est qu’un cas particulier de celui (|ue nous venons de démontrer :

Si un cercle est inscrit dans un triangle , et qu'on joigne chaque sommet du triangle au point de contact du côté opposé, on obtiendra trois droites qui se couperont en un même point.

100. On joint deux à deux, directement et transversalement, les points où deux droites fixes issues d’un point O rencontrent un cercle : si P est l’intersection des droites directes, et Q celle des droites transverses, la droite PQ est la polaire du point 0.

Prenons les deux droites fixes pour axes ; et soient /., /', fjt et p.’, les segments que détermine le cercle sur leurs directions. Les équations des lignes directes seront alors

et celles des droites transverses

L’équation de la ligne PQ sera

puisque (40) elle passe par l’inlersection P des droites directes se Y X Y

et celle Q des transversales

D’ailleurs l’équation du cercle étant

ax’-h P. h xy -l- hy' ■+■ i gx -t- if y -t- c = o,

X et X' seront les racines de 2 ex + c= O (84), et l’on

aura

CHAPITIK VII.

on Irouvcraii de même

fJ. C

L’équation de PQ devient alors

+fr + o:

cette droite est par suite la polaire de l’origine O (89). Si le point O est fixe et les deux droites mobiles, le lieu des points P et Q sera la polaire du point O.

101. On donne deux points quelconques A et B, et leurs polaires par rapport ù un cercle dont le centre est O; .\P et BQ étant les distances des points \ et B aux polaires de B et de A ; démontrer que l'on a la relation