CHAPITRE VII

THÉORtMKS KT l’ROBLKMES SLR LE CERCLE

96. Pniis le Chapitre précédent, nous avons fait voir eonimenl on pouvait former les é<iuations du cercle et celles des lignes les plus remarquahles qui s’y rapportent ; dans celui-ci, nous chercherons à faire ressortir par des exemples la signification de ces équations, en les appliquant à la démonstration de quelques-irnes des propriétés les plus importantes du cercle. Les exercices que nous avons donnés au n“ 4-9 peuvent nous servir ici d’introduction ; après avoir reconnu , parmi ces lieux géométriques, ceux qui sont des cercles, on en déterminera la position soit en cherchant leurs centres et leurs rayons (80), soit en déterminant les points où ils rencontrent les axes (84 ).

Les exercices suivants se rapportent au même genre de question.

EXERCICES

I. Dans un trianj^le ABC, on donne la bas<‘ AB et l'angle ACB qui lui est pppo.sé : trouver le lieu du sommet C.

Soient .r', y'; les coordonnées des extrémités de la base, et C l'angle donné. L'éijuation d'un des côtés étant

celle de l'autre côté, qui fait avec lui un angle C, sera (H3)

( 1 -4- H/langC)(y — y') = («/ — tangC) (x — j'); éliminant //i, on trouve pour l'équation du lieu

b*ngC[{y -y') (y-y*) + (x-x') (x - x') ]

Si l'angle C est droit, les équations des côtés seront

y — y'= "'{x — x") , ni{.y — y) -t- (x — x') = o.

TBfiORfellES ET PROBLfeMES SLR LE CERCLE.

Pt relie du lieu

II. On donne la base d'un triangle et l'angle qui lui est opposé : trouver le lieu des intersections des hauteurs du triangle.

Conservons les mêmes notations; les équations des hauteurs sont

(«/ — tangC) i.r — x')"*- (' + '"tiingC) (j — x’) = o,

et en éliminant ///, on trouve pour l'équation du lieu :

UngC[0--.r’) {r — j") -f- (x-x'){x- x')]

Cette équation, ne dilTèrant de celle de l'Exercice précédent que par le signe de tangC, est celle que nous trouverions dans ce dernier cas si, la base restant la même, nous cherchions le lieu du sommet correspondant à un angle ACB supplémentaire du premier.

III. On donne un certain nombre de points : trouver le lieu du point tel, que la somme de m' fois le carré de sa distance r‘ au premier point, m’ fois le carré de sa distance r" au deuxième point, etc., soit égale à une constante; autrement dit, en adoptant la notation du n° 'iO, Ex. IV, que ï(r«r’) soit une constante C.

Le carré de la distance d'un point (x,^) au point (x', ;•') est

Multipliant ce carré jwr ni', et ajoutant ce produit aux produits correspondants obtenus pour la distance de (xj^;-) aux autres points (x*, j'), (x”,^"),. . ., nous trouverons pour l'équation du lieu

Ce lieu est un cercle dont le centre a pour coordonnées

et se confond avec le point que nous avons appelé centre des distances proportionnelles (50, Ex. IV).

Nous aurons, pour déterminer la valeur du rayon R de ce cercle, la relation

R’ï(/«) = i(mr’) — ï(/«6’),

CHAPITBE VII.

duiis laqimllo fi roprcsenlc la distance d'un point quelconque du système au centre ; par suite, ï(/»p’) est la somme de ni' fois le carré de la distance au jiremier point, etc.

IV. Par un point O, on mène successivement, à cliaciin des côtés «, h, c d’un triangle, des parallèles qui coupent les autres côtés en B, C ; C', A'; A'. B" : trouver le lieu du point O tel, que la somme des rectangles

BO.OC -e C'O.OA’ -e A'O.OB* soit constante et égale à ni".

Si l'on prend deux des côtés a et h du triangle pour axes, l'équation du lieu est

ou. en désignant par C l’angle compris entre n et h,

J-* -t- -a JfCosC — nx — b y ni" = o.

t’a: lieu est un cercle concentrique au cercle circonscrit : les coordonnées * et 6 du centre sont données par les équations

a (2 -H ft cosc) = rt, a -s- a cosr ) = ô,

qui permettent de trouver le lieu des centres du cercle circonscrit, lorsque deux des côtés du triangle étant donnés de position ont leurs longueurs liées par une relation donnée.

V. I.a droite qui joint le point O à un point fixe A détermine, sur l’axe des X, le même segment que détermine sur l’axe des > la |>erpendiculaire menée par le point ü à la droite OA : trouver le lieu du point O.

VI. On joint un [wint O aux sommets A, B, C d’un triangle; puis on mène par les sommets A, B, C des [K-rix-udic ulaires aux droites OA, OB, 00 : trouver le lieu du point 0 tel, que ces {terpendiculaires se coupent en un seul point.

97. Les exercices suivants se rapportent au problème du n° 82 : trouver les coordonnées des points où une droite rencontre un cercle.

E.VERCICES.

I. Trouver le lieu des points milieux des cérdes menées dans un Corde parallèlement à une droite donnée.

THtOBfclIES ET PROBLÈMES SIR LE CERCLE. l3>

Soit xcoiz -f j sin* — p = o l'équation d'une de ces cordes : ot est donné | ar hypothèse , et p est indéterminé. Les abscisses des points où cette droite rencontre le cercle se déduisent de l'équation (n“ 82)

x’ — a px cos a -t- />’ — r’ sin’ a = o.

Si les racines de cette étjuation sont x' et x", l’aliscisse du milieu de la

corde sera ( n” 7 ) i (x' -+- jt') ou, d'aprèsla théorie des é(|uations, ;>cos *.

On trouverait de même ,v = /» sin* pour l'ordonnée du milieu de la corde. L’équation du lieu est donc r=x tanp* : c'est celle de la |>erpendiculaire abaissée du centre sur In direction donnée.

IL Trouver la condition jK)ur que le segment déterminé par le cercle x’-(- r’ sur la droite xcos* -h r sin* — /< = o soit vu du point (x',/') sous un angle droit.

Nous avons trouvé (96, Ex. Il), pour que les droites joignant (x',r’), (x",) ”) à (x',/') soient (rerpentliculaires, la condition

Soient (x*. y"), (x", r ") les points où la droite rencontre le cercle, on aura, d'après l'Exercice précédent,

x" -t- x'" = a/^cos*, x'x” = /<’ — r’sin’a,

r a/jsina, v'.v'”=/r’ — r’cos’*,

et en portant ces valeurs dans l'équation précédente, on trouvera, ()Our la condition cherchée,

x'’-t-p '* — a/<x'cos* — a/o 'sin* -i- ^p'— r'~o.

III. Trouver le lieu dis points milieux des cordes vues sous un angle droit d'un point donné (x',jr').

Si X et J coordonnées du point milieu, nous avons (Ex. I )

p C.06 a = X, yr sin a = />’ = x’ -t- r ’.

Substituant ces valeurs dans la condition trouvée plus haut, il vient (x — x'j’ H- (v —.» ')’ -t- x’ = r’.

IV. On donne une droite MN et un cercle ; trouver un point O tel, qu’en menant par ce point une corde AB, le produit des distances AM, B.N des extrémités A, B de la corde à MN soit constant.

CIIAriTRB VII.

Prenons .MN pour axe des x el pour axe des v une perpendiculaire (lassanl par le centre du cercle, l’équation du cercle sera

Si x’, v' sont les coordonnées du jioinl cherché O, 1 équation d’une corde quelconque sera/ — r' = /n(x — x'); en éliminant x entre celte éipnition et celle du cercle, nous trouverons, |iour délerminer v, une «■qnaliun du deuxième degré dont le produit des racines,

( v' /Hx' )’ /«’(?“ — c’I

devra être constant, c’est- à-dire indépendant de w ; ce qui ne |Kîut ni river que si le numérateur est divisihie par i et alors x' o, ^

V. Trouver la condition pour que le segment déterminé sur la corde X cosa + .) sin a — /r = o par le cercle

J ’ -t- ) ’ -e a/»x -s- i iy -I- c = o

soit vu de l’origine sous un angle droit.

L’équation des deux droites joignant l’origine aux extrémités de la corde peut s’obtenir en multipliant les termes du deuxième degré de l’équation du cercle par /i', ceux du premier degré par/i (x cosa -r- r sina), et le terme constant par (xcosa -t-.i sina )’ ; en ellet, l’équation à laquelle on arrive est homogène, el elle est satisfaite par les points du cercle qui se trouvent sur la corde xcosa + r sina — /> — o. Cette équation, développée et ordonnée, devient

(/>’ -t- a g/) ros a -1- c cos’ a ) x’

-i-a(ÿsina-i-/co5a4-rsinacosa)xr -i-(/P-i- i.f/ysina -i- csin’a) » ’= o, el les deux droites sont perpendiculaires lors<|ue (7i) a /r’ -H COSa -t-/sina) -f- c = o.

VI. Trouver le lieu du pied de la [a>rpendiculaire abaissée de l’origine sur la corde vue de l’origine sous un angle droit.

Les coordonnées polaires du lieu sont /j et a dans l'équation que nous venons de trouver : l’équation de ce lieu est donc

a (x’ -1- ji ’ ) -e ag-x -i- ■xfr -t- c = o,

el représente le même cercle que celle de l’Exercice III.

TUÊORtIllES ET PROBLEMES SUR LE CERCLE. 1 33

VII. Par un point fixe P d’un diamètre AB, on mène une corde MN, 1rs droites AM, AN déterminent sur la tangente au rerrie en B des segments dont le rectangle est constant.

Prenons pour axes le diamètre AB et la tangente en A, l'équatinn du cercle sera jr’ irx = o; soient x', o les coordonnées du [«int P, l’équation de MN sera r= ni[x — ,r') ; en Tormant alors, comme à l'Exercice V, l’équation des droites AM, AN et en y faisant x — ir, nous trou^e-

rons les valeurs des segments dont le produit 4' ’ — — est indépendant de m.

98. Nous allons déduire des équations du n" 88 un certain nombre de propriétés des pôles et polaires.

Lorsqu'un point A, (x',}'), est situé sur la polaire de B, le point B, {x", /'), se trouve sur la polaire de A.

Igt condition pour que (x',^ ') appartienne à la polaire de (x", >•*) est x' x" ->r = r^, et c'est aussi celle pour que le

point {x*,j" ) SC trouve sur la polaire de(x',^-'). Le même raisonnement peut s’appliquer à l’équation générale (89). et on voit facilement qu’en remplaçant, dans l’équation de la polaire de (x', y'), les coordonnées courantes par x" el^ ", on obtient le même résultat qu’en substituant dans l’équation de la polaire de (x",/"), x' et r' aux coordonnées courantes. On énonce quelquefois ce théorème ainsi qu’il suit : Lorsque la polaire de B passe par un point Jixe A, le point B glisse sur la polaire du point A.

Ce théorème et les suivants sont vrais pour toutes les courbes du deuxième degré.

99. Etant donnés un cercle et un triangle ABC, si l’on prend par rapport au cercle les polaires de A, B, C, on forme un nouveau tr'Kingle A'B'C', qu’on appelle triangle polaire, et dans lequel A', B' et C' sont respectivement les pôles de BC, C.\ et AB. Dans le cas particulier où les polaires de A, B, C sont respectivement BC, CA , AB, le second triangle se confond avec le premier, auquel on donne alors le nom de triangle autopolaire ( ' ).

( • ) On appelle quoiquorois ce iriangU», trian^ie conjugué : cV»l a la l'ois pour éviter une confusioii et pour conserver rhenreuso symétrie de rexpressiori anglaise {conjugute^ srlf^conjugate)^ que nous l’avons appelé triangle autopolaire.