OR,)X(OG
Les produits (ORft) X (OGa) sont nuls ; l'expression (ORi)X(OGy)-t-(OR,)x(OG0
est (231) le moment relatif des vecteurs P, et P^ ; si l'on désigne par (P,, Vj) ce moment relatif, on aura
(OR)X(OG)=ss(P,,P,); donc :
Le produit géométrique de la résultante générale et du moment résultant d'un système de vecteurs est égal à la somme des moments relatifs des vecteurs du système, pris deux à deux, de toutes les manières possibles.
Ou encore (227), ce produit est égal à six fois la somme algébrique des volumes des tétraèdres que l'on peut construire en prenant comme arêtes opposées, de toutes les manières possibles, deux vecteurs du système.
237. Axe central d'un système de vecteurs. — Plaçons-nous dans le cas où la résultante générale OR n'est pas nulle ; cherchons s'il existe des points A pour lesquels le moment résultant AH est parallèle à OR (fig. 122).
Gomme le moment résultant reste le même quand on se déplace sur une parallèle à OR (234), on peut se borner à étudier
les points A qui sont situés dans le plan n mené par 0 perpendiculairement à OR. Décomposons OG en deux vecteurs :
l'un U dirigé suivant OR et l'autre V perpendiculaire à OR.
Soit AK le moment de OR par rapport à A.
^ig- 122. On aura
(AH) = (OG) + (AK) = (OU) + (OV) -+- (AK). OU est parallèle à OR ; OV et AK sont perpendiculaires à OR ; pour que la résultante AH soit parallèle à OR, il faut et il suffit que les deux composantes perpendiculaires OV et AK se détruisent; ceci exige que le trièdre OVAR soit un trièdre trirectangle de signe positif, ce qui détermine, sans ambiguïté, la direction OA. On devra avoir, en outre,
OV = AK = ORxOA, ce qui détermine la longueur OA ; il y a donc, dans le plan n, un point A et un seul pour lequel AH est parallèle à OR. Tous les points qui possèdent la même propriété sont situés sur la droite D, menée par A parallèlement à OR. Cette droite D est Vaxe central du système de vecteurs.
238. Propriétés de l'axe central. — Soient OG {fig. 123) l'axe central d'un système de vecteurs, OR la résultante générale, OG le moment résultant par rapport à un point 0 de l'axe ; considérons un point quelconque A et menons de ce point la perpendiculaire AP à l'axe.
Le moment résultant AH du système par rapport au point A est (234) la somme géométrique de deux vecteurs : 1° un vecteur AG' Fig. 123. ayant même grandeur géométrique que OG ;
2° un vecteur AK égal au moment de OR par rapport au point A ;
aG
ce vecteur AK est perpendiculaire à AG' et sa grandeur est égale au produit
ORXAP.
Les composantes AG' et AK étant rectangulaires, on aura Âfl' = ÂG'" -h Ik\
ou âh' = ôg' -4- 5r' xlp' .
Cette dernière formule met en évidence les résultats suivants: ^ 1° L'axe central est le lieu des points pour lesquels le moment résultant est minimum i
2° Le lieu des p)oints jjour lesquels le moment résultant a une longuerir donnée est un cylindre de révolution qui a pour axe l'axe central.
Systèmes équivalents.
239. Définition. — Deux systèmes de vecteurs sont équivalents lorsqu'ils ont même résultante générale et même moment résultant par rapport à un point 0. Ils auront alors (23i) même moment résultant par rapport à un point quelconque.
Relativement aux projections sur un axe et aux moments par rapport à un axe, on aura (233) les propriétés suivantes :
Si deux systèmes de vecteurs sont équivalents^ la somme des projections des vecteurs du premier système sur un axe quelconque est égale à la somme des projections de ceux du second système sur le même axe ;
Si deux systèmes de vecteurs sont équivalents^ la somme des moments des vecteurs du premier système par rapport à un axe quelconque est égale à la somme des moments de ceux du second par rapport au même axe.
Inversement: Soient trois axes formant un irièdre Oxyz; si la somme des projections des vecteurs du premier système sur chacun de ces axes est la même que celle des projections des vecteurs du second système, et si la somme des moments des vecteurs dupre-
mier système par rapport à chacun de ces axes est la même que celle des moments des vecteurs du second système, les deux systèmes de vecteurs sont équivalents.
En effet, soient OR la résultante générale et OG le moment résultant par rapport au point 0 du premier système ; OR', OG' les grandeurs analogues pour le second système. Les projections de OR et OR' sur chacun des axes x, y, z seront les mêmes : donc OR et OR' sont identiques ; il en est de même pour OG et OG'; donc les deux systèmes sont équivalents.
Deux systèmes équivalents ont même axe central (237) et même moment résultant minimum.
Si deux systèmes sont équivalents, la somme algébrique des volumes des tétraèdres obtenus en prenant comme arêtes opposées, de toutes les manières possibles.^ deux vecteurs du premier système, est la même que celle des volumes des tétraèdres construits de la même façon avec les arêtes du second (236).
240. Systèmes nuls. — Un système est équivalent à zéro ou encore forme un système nul lorsque sa résultante générale est nulle et que son moment résultant par rapport à un point 0 est nul; le moment résultant sera nul pour chaque point de l'espace (235).
Un système nul possède les propriétés suivantes:
La somme des projections de tous les vecteurs d'un système nul
sur un axe quelconque est égale à zéro ;
La somme des moments de tous les vecteurs d'un système nul
par rapport à un axe quelconque est nulle. .
241 . Définitions. — Deux vecteurs sont dits opposés lorsqu'ils sont portés sur la même droite, qu'ils ont même longueur et qu'ils sont dirigés en sens inverses. Il est clair que deux vecteurs opposés forment un système nul.
Si (A) et (B) sont deux systèmes de vecteurs, on appellera somme de ces deux systèmes le système formé avec tous les vecteurs de (A) et tous les vecteurs de (B) ; cette somme sera désignée par la notation (A) + (B).
La résultante générale de (A) h- (B) est la somme géométrique des résultantes générales de (A) et (B).
Le moment résultant par rapport à un point quelconque 0 de (A) + (Bj est la somme géométrique des moments résultants de (A) et (B) par rapport au même point 0.
Donc :
Si (B) est un système nul, les systèmes (A) et (A) -h (B) sont équivalents ;
Si (A) et (B) sont respectivement équivalents à (A') et (B'), les systèmes (A)-l-(B) et (A')-i-(B') sont équivalents.
Deux systèmes sont dits opposés ou de signes contraires lorsque chaque vecteur de l'un est opposé à un vecteur de l'autre. Si (A) est l'un de ces systèmes, l'autre sera désigné par ( — A) ; il en résulte que
La somme de deux systèmes opposés forme évidemment un système équivalent à zéro.
Si (A) et (B) sont deux systèmes équivalents, la somme (A) -1- ( — "B) forme un système nul.
En effet, les sommes (A) + (— B) et (B) -{- ( — B) sont équivalentes ; la dernière forme un système nul ; donc il en est de même de la première.
242. Opérations élémentaires. — Les deux opérations élémentaires suivantes transforment un système de vecteurs en un système équivalent :
1° Adjonction ou suppression de deux vecteurs opposés. Cette opération, répétée deux fois, permet de remplacer un vecteur par un vecteur équivalent. Soient AP et BQ (fîg. 1-24)
deux vecteurs équiva- P* '^ '. Q* ^ ^Q' lents, BQ' le vecteur op-
Fig. 124. posé à BQ. Au système
primitif qui contient AP, adjoignons les deux vecteurs opposés BQ et BQ', puis supprimons les vecteurs opposés AP et BQ' ; on aura ainsi remplacé dans le système primitif le vecteur AP par son équivalent BQ.
L'opération qui consiste à remplacer un vecteur par un vecteur équivalent s'appelle par abréviation : transport d'un vecteur en un point de sa direction.
2° Remplacement de plusieurs vecteurs de même origine par leur résultante^ ou inversement, remplacement de la résultante par ses composantes.
En effet, cette opération ne change pas la résultante générale^ elle ne change pas non plus le moment résultant (229).
Nous allons montrer qu'inversement, si deux systèmes sont équivalents, on peut passer de l'un à l'autre parles opérations élémentaires.
La démonstration repose sur les trois propriétés suivantes :
243. — 1° On peut., par les opérations élémentaires.^ réduire un système quelconque de vecteurs à trois vecteurs appliqués à trois points A, B, G non situés en ligne droite [fig. 125).
Fig. 125.
Considérons d'abord un vecteur P, non situé dans le plan ABC. On pourra prendre sur la droite qui porte le vecteur un point 0 situé hors du plan ABC, transporter ce vecteur en 0, puis le décomposer en trois autres portés sur les droites OA, OB, OC qui forment un véritable trièdre (213) ; on transportera ensuite ces composantes en A, B, C.
Supposons que le vecteur P soit situé dans le plan ABC. On prendra sur la droite P un point quelconque 0; ce point 0 ne peut pas appartenir aux trois côtés du triangle; supposons que le point 0 ne soit pas sur la droite AB : on transportera le
vecteur P en 0, on le décomposera (212) en deux autres dirigés suivant OA et OB, puis on transportera ces composantes en A etB.
Dans l'un et l'autre cas, on a remplacé le vecteur P par trois autres appliqués en A, B, G, à cette différence près, que dans le second cas le vecteur appliqué en G est nul.
Gela posé, faisons la même opération pour chaque vecteur du système; nous obtiendrons un nouveau système composé de vecteurs appliqués soit en A, soit en B, soit en G.
Composons en un seul les vecteurs de chacun de ces groupes ; on aura un système composé de trois vecteurs ayant respectivement pour origine les points A, B, G.
244. — 2° On peut^ par les opérations élémentaires, réduire un système quelconque de vecteurs à deux vecteurs.
Réduisons d'abord (243) le système à trois vecteurs AP, BQ, GR ifig. 126) ; les deux plans ABQ, AGR ayant un point com-
mun A, ont au moins une droite commune kx passant par A ; sur cette droite prenons un point quelconque 0. Le vecteur BQ et la droite AO sont dans un même plan ; on peut toujours, en transportant au besoin le vecteur Q en un point de sa direction, supposer que l'origine B de ce vecteur n'est pas sur la droite AO; traçons BA et BO; les trois droites BA, BO, BQ étant dans un même plan, on pourra (212) décomposer le vecteur Q en deux autres portés sur les droites BA et BO ; on transportera
ensuite les points d'application de ces composantes en A et 0. On a ainsijemplacé le vecteur Q par deux autres appliqués en A et 0 ;'^on pourra faire la même opération sur le vecteur analogue R. On obtiendra donc un système composé de vecteurs ayant pour origine A ou 0; en composant ensuite les vecteurs appliqués en A, puis les vecteurs appliqués en 0, on obtiendra un système formé de deux vecteurs.
24o. — 3° Si un système composé de deux vecteurs est nul, ces deux vecteurs'sont opposés.
En effet, soient AP et BQ les deux vecteurs; le système formé par ces vecteurs étant nul, on a, quel que soit le point 0, (m'„AP)H-(m;BQ) = 0.
Plaçons le^'^point 0 sur la droite AP; mo'AP est nul, donc m* BQ sera nul : par suite la droite BQ passe par 0.
Gela devant avoir lieu quel que soit le point 0 de AP, les deux droites AP et BQ coïncident; soit D cette droite.
Le système formé par les deux vecteurs étant nul, on a, en projetant sur un axe quelconque,
pr. AP + pr. BQ = 0.
Projetons, en particulier, sur la droite D. On voit que AP et BQ ont même longueur et sont de sens contraires; donc ces vecteurs sont opposés.
246. Théoi'ème. — Si deux systèmes sont équivalents, on peut les transformer Vun dans Vautre par les opérations élémentaires.
En effet, soient (S) et (T) deux systèmes équivalents. Partons de (S) et ajoutons-y tous les vecteurs des deux systèmes (T) et (— T), ce qui revient à effectuer un certain nombre de fois la première opération élémentaire. On obtient ainsi un système qui comprend tous les vecteurs de (S), (T) et ( — T) ; partageons ce système en deux parties : la première formée des vecteurs (T), la deuxième formée des vecteurs de (S) et (— T). Cette deuxième partie est équivalente à zéro (241). On pourra,
