COUPLES

par les opérations élémentaires, réduire cette deuxième partie (244) à un système équivalent formé de deux vecteurs ; ces deux vecteurs formant un système nul sont opposés (245), on peut donc les supprimer; en fait, on aura donc supprimé toute la deuxième partie, il restera seulement le système (T); on a donc passé du système (S) au système (T) par les opérations élémentaires.

Couples.

247. Définitions. — On appelle couple un système de deux vecteurs égaux, parallèles et dirigés en sens inverses, mais non portés par la même droite. Le plan de ces deux vecteurs est le plan du couple ; la distance des deux vecteurs parallèles est son bras de levier.

248. Axe d'un couple. — Un couple est un système dont la résultante générale est nulle ; il en résulte que le moment résultant du système est le même (235) pour tous les points de l'espace. Pour trouver ce moment résultant, il suffit de le trou- „ ver pour un point particulier. Prenons un

point 0 situé sur le vecteur AP du couple AP, BQ (fig. 127). Le moment du vecteur AP est nul, le moment résultant OG du système est donc égal au moment du vecteur Q par rapport au point 0. Ce moment sera (221) perpendiculaire au plan OBQ, qui est le plan du couple; sa grandeur est égale au produit A du vecteur BQ par le bras de levier du couple

Fig. 127. Qjj . gjjfjjj il est dirigé dans un sens tel que les

trois directions OH, BQ, OG soient celles d'un trièdre positif. Ce moment résultant OG est Vaxe du couple.

249. Corollaire. — Deux couples dont les axes ont même grandeur géométrique sont équivalents.

En effet, ces couples forment deux systèmes de vecteurs dont la résultante générale est nulle et qui ont même moment résultant ; donc ils sont équivalents (239).

Il en résulte (246) qu'on peut transformer ces deux couples l'un dans l'autre par les opérations élémentaires.

250. Théorème. — Tout système de vecteurs dont la résultante générale est nulle est équivalent à un couple.

Soit en effet (S) un système dont la résultante générale est

nulle et dont le moment résultant est OG {fig. 128) ; dans le plan n mené par 0 perpendiculairement à OG prenons deux directions rectangulaires Qx, Oy telles que le trièdre OxyG soit de sens positif; sur le prolongement de Oy prenons une longueur arbitraire OA, puis sur Ox un point Fig. 128. H tel que

OAxOH = OG.

A partir du point H, prenons dans la direction de Oy une longueur HB égale à OA.

Le système formé par le couple OA, HB est un système dont la résultante générale est nulle et qui a pour moment résultant OG. Ce couple est donc équivalent au système (S).

251. Composition des couples. — Considérons un nombre quelconque de couples (Ci), (Ca), . . . , (Cn) ; l'ensemble des vecteurs de ces couples forme un système dont la résultante générale est nulle ; ce système est donc équivalent à un couple unique (250). Pour avoir l'axe de ce couple, il faut faire la somme géométrique des moments de tous les vecteurs par rapport à un point quelconque 0. Pour effectuer cette somme on