PA = PB = PC = P'A' = PB' = PC

Le triangle isocèle PAB est superposable au triangle P'B'A' ; donc les deux triangles PAB et P'A'B' sont équivalents ; il en est de même des triangles PBG et PE'C', ainsi que des triangles PGA et P'G'A'.

Gela posé, si le point P est à l'intérieur du triangle ABC, l'aire du triangle ABC est la somme des aires des triangles PBG, PGA, PAB ; le point P' sera aussi à l'intérieur du triangle A'B'G', et celui-ci sera la somme des triangles P'B'C', PGA', P'A'B', respectivement égaux aux précédents. Donc ABG et A'B'G' sont équivalents.

Si le point P n'est pas à l'intérieur du triangle ABG, on fait la démonstration de la même façon, en remplaçant la somme arithmétique des trois triangles par une somme algébrique.

380. Théorème. — L'aire d'un triangle sphérique est égale à la somme de ses angles moins le nombre deux.

Traçons complètement les grands cercles auxquels appartiennent les côtés du triangle ABG {fig. 168) et soient A', B', G' les symétriques des sommets A, B, G. Le fuseau A se compose des triangles ABG et A'BG ; le fuseau B des triangles BAG et B'AC; le fuseau G des triangles GAB et G'AB ; ce dernier triangle est équivalent à son symétrique GA'B' : on peut donc écrire

fus. A = ABG H- A'BG, fus. B = ABG -h ABG, fus. G = ABG-h.\'B'G.

En ajoutant, on aura au second membre deux fois le triangle

GUICHARD. — TRAITÉ DE GÉOM . II J-j

Fi". 168.

ABC, pluslasomme des quatre triangles ABC, BGA', A'B'G, B'CiV; ces quatre triangles forment l'hémisphère découpé par le grand cercle ABA'B'. Par suite

fus. A -+- fus. B 4- fus. G = 2ABG + — sphère.

Désignons par S la surface du triangle ABG, remplaçons les

fuseaux et la demi-sphère par les nombres qui les mesurent, on

aura

2A + 2B-^2G = 2S-h4, d'où

381. Bemarque. — Le nombre A h-B h- G — 2 est ce qu'on appelle V excès sphérique du triangle ; on peut donc dire : L'aire d'un triangle est égale à son excès sphérique.

382. Théorème. — L'aire d'un polygone sphérique convexe de n côtés est égale à la somme de ses angles moins 2(n — 2).

Décomposons le polygone en (n — 2) triangles en menant les grands cercles qui joignent un sommet A à tous les sommets qui ne sont pas sur les côtés de l'angle A. L'aire du polygone est la somme des aires des triangles, c'est-à-dire la somme des angles des triangles moins 2(?i — 2); or la somme des angles des triangles est égale à la somme des angles du polygone, ce qui démontre le théorème.

383. Théorème. — Le lieu des sommets G des triangles sphériques ABG dont la hase AB est fixe et tels que la somme algébrique des angles

Ah-B — G ait une valeur absolue donnée, se compose de deux petits cercles passant par k et ^ et symétriques par rapport au grand cercl'' AB.

Soit P le centre sphérique du cercle circonscrit au triangle ABG ; désignons par a la valeur de l'angle à la base dans le triangle isocèle PBG, par p celle du triangle PGA, par y celle du triangle PAB Trois cas peuvent se présenter :

1° Le point P est à l'intérieur du triangle ABC {fig. 169).

On a dans ce cas

A + B — C = P + Y + ï + a — (« + P) =2y. 2° Le point P est extérieur au triangle ABC, mais du même côté que le sommet G par rapport au grand cercle AB.

Fig. 170.

L'un des arcs PA ou PB doit traverser le triangle; supposons que ce soit l'arc PA [fig. 170). On a

3° Le point P est extérieur au triangle, mais du côté opposé au sommet G par rapport au grand cercle AB [fig. 171).

On a alors

A-hB-G = (!i — Y)-l-(a — y) — (a + p) = - 2y. Si donc la valeur absolue de A h- B — G est égale à k, y

sera dans tous les cas égal a — • Il en résulte que le point P ne

peut occuper que deux positions P et P' symétriques par rapport à AB ; et par conséquent le sommet G doit se trouver, soit sur le cercle qui a pour centre P et pour rayon PA, soit sur le cercle qui a pour centre P' et pour rayon P'A,

Considérons l'un de ces cercles, celui qui a pour centre P, par exemple (fig. 172); les grands cercles PA et PB coupent encore ce cer-

Fig. 172.

cle en A' et B'. Le sommet G peut occuper sur ce cercle trois positions :

1° Le sommet G est sur l'arc A'B'.

Le point P est intérieur au triangle ABG, on a Ah-B — C = /:.

2° Le sommet G est sur l'arc AB' ou sur Vorc BA.

Le point P est extérieur au triangle ABG, mais du même côté que le sommet G par rapport au grand cercle AB ; on a A-hB — G = A;.

3° Le sommet G est sur l'arc AB.

Le point P estextérieur au triangle ABG, mais du côté opposé

au sommet G par rapport au grand cercle AB ; on a dans

ce cas

Il résulte de là que si l'on veut que la différence A + B — G soit positive, il faut prendre, sur chaque petit cercle, la partie qui est dans le même hémisphère que son centre par rapport au grand cercle AB ; c'est le contraire si l'on veut que la différence A H- B — G soit négative.

384. BemarqueL — Le théorème précédent est pour la géométrie de la sphère l'analogue au théorème du n° [205] pour la géométrie du plan.

k Gar si dans le plan A-i-B — G — ±A:, on a G = l^^i ■ q= 3- •

385. Remarque IL — Si k est nul, les deux points P et P' sont confondus avec le milieu de AB. Le lieu est alors le cercle qui a pour centre le milieu I de AB et pour rayon ÏA.

386. Théorème de Lexell. — Le lieu des sommets G des triangles spkériques ABG (fig. 173) dont la base AB est fixe et dont

CONSTRUCTIONS SUR LA SPHÈRE

l'aire a une valeur donnée S, se compose de deux arcs de cercle symétriques par rapport au grand cercle AB et passant nar les points A' et B', diamétralement opposés à A et B.

On doit avoir

A + B-hC— 2 = S.

Considérons le triangle A'B'G; dans ce triangle on a

Fig. 173. La relation précédente devient

Les points A' et B' étant fixes, le théorème précédent montre que le lieu se compose de deux arcs de cercle passant par ces points. Le même théorème indique d'ailleurs quel est l'arc de chacun des petits cercles qu'il faut choisir ; cet arc dépend du signe de 2 — S.

Considérons Tun de ces petits cercles et soit A'MB' {fig. 174) l'arc qui fait partie du lieu. Prenons sur l'autre arc un point Ci. Dans le triangle A'B'Cj, on aura

A' + B' — Cl = S— 2, et par suite dans le triangle ABCi, 2 — A-f-2— B — Cl = S — 2, ou

Fig. 174. A + B + Ci-2 = 4— S.

L'aire du triangle ABC, est donc 4 — S, ce qui revient à dire que S est l'aire de la figure formée par l'arc de grand cercle plus grand qu'une demi-circonférence qui va de A en B et par les deux arcs de grand cercle CA et CB, qui sont moindres qu'une demi-circonférepce.

Constructions sur la sphère.

387. Bemarque. — Les constructions sur la sphère se font à l'aide d'un compas à branches recourbées ditcompas d'épaisseur;

nous supposerons qu'on ait déterminé [686] le rayon de la sphère ; on pourra alors tracer sur une feuille de papier un cercle égal à un grand cercle de la sphère.

Pour tracer un grand cercle de la sphère ayant pour pôle un point donné P, on prend une ouverture de compas égale à la corde d'un quadrant et on place la pointe sèche du compas au pôle P.

388. Mener un grand cercle par deux points A et B de la sphère. — Les pôles de ce grand cercle se trouvent à l'intersection des grands cercles qui ont pour pôles A et B,

Cette construction permet aussi de trouver les pôles d'un grand cercle donné.

389. Mener par un point A un grand cercle perpendiculaire à un cercle donné. — Le grand cercle cherché est celui qui passe par A et les pôles du cercle donné.

390. Partager un arc de grand cercle en deux parties égales. — Soit AB l'arc de grand cercle. Avec une ouverture de compas arbitraire, mais plus grande que la corde de la moitié de l'arc AB et plus petite que la corde d'un quadrant, on décrit des points A et B comme centres des petits cercles ; ces petits cercles se coupent (376) en deux points M et M'. Le grand cercle mené par M et M' sera perpendiculaire à l'arc AB et passera par le milieu de cet arc (357).

Cette méthode permet de mener un grand cercle perpendiculaire à un arc de grand cercle en son milieu.

391. Partager l'angle de deux grands cercles en deux parties égales. - Décrivons le grand cercle qui a pour pôle le sommet A de l'angle, il coupe les côtés de cet angle en B et C; déterminons (390j le miheu I de l'arc BC. Le grand cercle qui passe par les points A et I partage l'angle donné en deux parties égales.

CONSTRUCTIONS SUR LA SPHÈRE

392. Construire le cercle circonscrit à un triangle ABC. — Menons les grands cercles perpendiculaires aux arcs AB et BG en leurs milieux ; ces grands cercles se coupent en deux points P et P'; chacun de ces points est équidistant des trois points A, B, C. Le cercle cherché s'obtient en plaçant la pointe sèche

du compas en Tun de ces points, en P par exemple, et en prenant une ouverture de compas égale à la corde PA.

393. Etant donnés un grand cercle G et un point 0 de ce cercle (fig. 175], mener par le point 0 un grand cercle D, faisant avec le grand cercle G un angle égal à un angle donné A, tracé sur la sphère.

Décrivons le grand cercle qui a pour pôle A, il coupe les côtés de l'angle en a et b. Décrivons de même le grand cercle qui a pour pôle le point 0; il coupe le cercle G en c ; portons sur ce grand cercle, à partir du point c, un arc cd égal à ab. Le cercle cherché est celui qui passe par 0 et d.