B'E = CD

et par suite

B'C -hED = B'D + CE = — Cire.

369. Il en résulte que si l'on désigne par a, è, c. A, B, C les côtés et les angles du triangle ABC ; par a', 6', c , A', B', C les éléments homologues du triangle A'B'C, on aura

Cercles sur la sphère.

370. Définitions. — Tout cercle de la sphère admet deux pôles P et F ; tous les points du cercle sont équidistants [684] de l'un de ces pôles. Pour l'un de ces pôles, cette distance commune est moindre qu'un quadrant, soit P ce pôle ; pour l'autre pôle P', la distance commune est plus grande qu'un quadrant. Le pôle P est appelé le centre siphérique du cercle ; la distance sphérique d'un point du cercle à son centre P est le rayon sphérique du cercle.

Le cercle partage la sphère en deux calottes : l'une contenant le centre P, Tautre le pôle P'. Les points de la première calotte sont dits intérieurs au cercle; ceux de la seconde sont dits ex-térieurs au cercle.

[1 résulte de ces définitions que :

Si un point est intérieur à un cercle, sa distance à son centre sphérique est moindre que son rayon sphérique ;

Si un point est extérieur à un cercle, sa distance à son centre sphérique est plus grande que son rayon sphérique.

371. Théorème. — Pour qu'un grand cercle soit perpendiculaire à un petit cercle C, il faut et il suffit qu'il passe par les pôles P et P' de ce cercle ifig. 165).

En effet, soit M un point quelconque du cercle G. La tangente MS à ce cercle est perpendiculaire au rayon IM ; d'autre

part, elle est perpendiculaire aussi à la droite PP', car le plan du cercle G est perpendiculaire à PP' ; il en résulte que la tangente MS est perpendiculaire au plan PMP'.

Gela posé, si Ton mène le grand cercle PMP', la tangente MT à ce cercle étant située dans le plan PMP', sera perpendiculaire à MS ; donc les deux cercles sont rectangulaires.

Réciproquement, si un grand cercle coupe en M le cercle donné, à angle droit, la tangente MT à ce grand cercle, étant perpendiculaire à MS, est située dans le plan PMP'. Or le plan mené par le centre de la sphère et la tangente à un grand cercle est le plan de ce grand cercle ; donc le plan du grand cercle cherché est le plan PMP'.

372. Corollaire. — Par un point B d'une sphère on peut mener un grand cercle perpendiculaire à un cercle donné G et on n'en peut mener qu'un.

En effet, si P et F sont les pôles du cercle G, le cercle cherché est le grand cercle PBP'.

11 y a exception si B coïncide avec l'un des pôles P ou F'; dans ce cas il y a une infinité de grands cercles passant par B et perpendiculaires au cercle G.

Si nous laissons de côté ce cas d'exception, le grand cercle mené par B perpendiculairement au cercle C rencontre ce cercle en deux points A et A' ; soit A celui de ces deux points qui est le plus rapproché de B. On démontrera comme au n°363, en remplaçant un arc de petit cercle par l'arc de grand cercle qui passe par ses extrémités, que si un point M se déplace de A en A' sur le cercle G, la distance sphérique BM va constamment en croissant.

La distance sphériqne BA, qui est la plus courte distance d'un point du cercle G au point B est appelée la dislance sphérique du point B au cercle G.

373. Positions relatives d'un grand cercle et d'un petit cercle.

— Soient P le centre sphérique d'un petit cercle G, r son rayon sphérique {fig. 166) ; du point P menons un grand cercle PAA' perpendiculaire au grand cercle donné r. Soient PA = 8 la

distance du point P au grand cercle et PA' = 2(/ — S la distance au point diamétralement opposé au point A, q représentant un quadrant de grand cercle ; si un point M se déplace sur le grand cercle donné r de A en A', la distance sphérique PM va en croissant de la valeur S à la valeur 2^ — 3 qui est toujours supérieure à ç et par conséquent à r. Donc par un raisonnement analogue à celui du n° [151] on arrive aux résultats suivants :

1° Si o>r, tous les points M du grand cercle sont extérieurs au petit cercle donné; on dit que le grand cercle est extérieur au petit cercle.

2° Si 0 = r, le point A est sur le petit cercle, tous les autres points M du grand cercle sont extérieurs au petit cercle. Nous dirons que le grand cercle est tangent au petit cercle ; le point commun A est le point de contact,

3° Si 8<C5 le grand cercle coupe le petit cercle en deux points B et B' symétriques par rapport au cercle PAA'; les points de^ l'arc BAB' sont intérieurs au petit cercle; ceux de l'arc BA'B' sont extérieurs ; on dit que le grand cercle est sécant au petit cercle.

374. Remarque. — Si un grand cercle et un petit cercle sont tangents en A, ils ont même tangente en ce point. En effet, ces deux tangentes sont situées dans le plan tangent en A à la sphère, elles sont toutes deux perpendiculaires à la tangente en A au cercle AP ; donc elles coïncident.

On peut encore dire :

Tout grand cercle tangent à un petit cercle est perpendiculaire au rayon qui passe par le point de contact.

375. Cercle circonscrit à un triangle sphérique. — Soit ABC un triangle sphérique. Par les milieux des côtés AB et BG menons des grands cercles respectivement perpendiculaires à ces côtés; ces deux grands cercles se coupent en des points diamétralement opposés P et P' ; chacun de ces points est équidistant (357) des points A, B, G. Soit P celui de ces points qui est le plus rapproché de A ; le cercle qui a pour centre P et pour rayon PA passe par les points A;, B, C ; c'est le cercle circonscrit au triangle ABG.

376. Positions relatives de deux cercles. — Soient P et Q les centres sphériques de deux cercles, r et r' leurs rayons, d la distance sphérique PQ. En raisonnant comme aux n°' [187, 188, 189, 190], on voit que :

1° Si dy- r^ r', les points de chaque cercle sont extérieurs à l'autre ; les cercles sont dits extérieurs ;

2° Si d = r -\- r\ les deux cercles ont un seul point commun A ; tout autre point de l'un des cercles est extérieur à l'autre. En A les deux cercles ont le même grand cercle tangent, c'est le grand cercle mené par le point A perpendiculairement au cercle PAQ. On dit que les deux cercles sont tangents extérieurement;

3° Si r — r' <^d<^ r + r', les deux cercles ont deux points communs symétriques par rapport au grand cercle PQ. On dit que les deux cercles sont sécants ;

4° Si d = r — r', les deux cercles ont un seul point commun A ; tous les autres points du cercle Q sont intérieurs au

cercle P ; en A les deux cercles ont le même grand cercle tangent. On dit qu'ils sont tangents intérieurement ;

5° Si d <ir — r', tous les points du cercle Q sont intérieurs au cercle P. Le cercle Q est dit intérieur au cercle P.

Nous avons obtenu par cette discussion toutes, les positions relatives que peuvent prendre deux cercles d'une sphère [188]. Les réciproques de ces théorèmes sont exactes, c'est-à-dire que :

1° Si les deux cercles sont extérieurs,

d>r + r'; 2° S'ils sont tangents extérieurement,

d = r + r' ; 3° S'ils sont sécants,

T — r' <i.d<ir -\- r' ; 4° S'ils sont tangents intérieurement, d = r — r' ; 5° Si le cercle P est intérieur au cercle Q,

d<Cr — r'; Même démonstration qu'au n» [490].

Aire des polygones sphériques.

377. Unité d'aire. — Dans ce chapitre, nous prendrons comme unité d'angle l'angle droit; comme unité d'aire, l'aire d'un triangle sphérique trirectangle tracé sur la sphère sur laquelle est située la figure considérée. Tous les théorèmes énoncés supposent ce choix d'unité.

Soient alors s le nombre qui mesure ainsi l'aire d'une figure sphérique, S le nombre qui mesure l'aire dp la même figure quand on prend comme unité l'aire du carré ayant pour côté l'unité de longueur ; il est facile de calculer S.

«En effet, la sphère totale contient huit triangles trirectangles ; le nombre qui mesure son aire dans le premier système d'unités

est 8 ; dans le deuxième c'est ^nR^, R étant le rayon de la sphère.

On aura donc [15]

8 47rR2

d'où

378. Théorème. — L'aire d'un fuseau sphérique est égale au double de son angle.

Deux fuseaux qui ont même angle sont équivalents, car ils sont superposables.

Si l'angle d'un fuseau A est égal à la somme des angles des fuseaux B et C, l'aire du fuseau A est la somme des aires des fuseaux B et C. En effet, le fuseau A peut être décomposé en deux fuseaux superposables respectivement aux fuseaux B et C.

Gela posé, un raisonnement analogue à celui du n° [195] conduit au résultat suivant :

Le rapport des aires de deux fuseaux est égal au rapport de leurs angles.

Soient alors A un fuseau dont l'angle a pour mesure A, B un fuseau dont l'angle est un angle droit; ce dernier fuseau pouvant se décomposer en deux triangles sphériques rectangles, le nombre qui mesure Taire du fuseau est 2.

L'égalité

aire fuseau A angle A

aire fuseau B angle B devient ici

aire fuseau A

A étant le nombre qui mesure l'angle A. Donc aire fuseau A = 2A.

379. Théorème. — Deux triangles sphériques symétriques" ABC, A'B'C (fig. 167) sont équivalents.

Fiff. 167.

En effet, soil P le centre sphérique du cercle circonscrit au triangle ABC; son symétrique P' est le centre du cercle circonscrit au triangle A'B'G';, et l'on a