Centre radical de trois cercles. — Théorème. — Les

axes radicaux de trois cercles, pris deux à deux, se coupent en deux points diamétralement opposés .

En effets soit S le point d'intersection des plans des trois cercles: la droite OS qui va du centre 0 au point S rencontre la sphère en deux points Q et Q' ; les axes radicaux des cercles, pris deux à deux, passeront par les points Q et Q'. Ces points Q et Q' sont les centres radicaux des trois cercles.

407. Remarque. — Si les plans des trois cercles sont parallèles à une même droite, les centres radicaux sont les extrémités ,du diamètre parallèle à cette droite. Les centres sphériques des trois cercles sont sur le grand cercle qui a pour pôles les centres radicaux.

Si les plans des trois cercles passent par une même droite, les axes radicaux des cercles, pris deux à deux, sont confondus ; on dit que les trois cercles ont même axe radical.

408. Corollaire I. — Coupons les cercles P et P' [fig. 183) par un même cercle G rencontrant le premier en A et B, le second en A' et B' ; les grands cercles AB, A'B' se coupent sur l'axe radical des cercles P et P'. Ce résultat permet de construire l'axe radical de deux cercles qui ne se coupent pas.

409. Corollaire II. — Supposons que les points A et B se rapprochent indéfiniment ainsi que les points A' et B' {fig, 184); le cercle C devient un cercle tangent aux cercles P et F en A et A'.

Les cercles AB, A'B' deviennent les cercles tangents en A et A'; donc :

Si un cercle C touche deux cercles P et P', les grands cercles tangents aux points de contact se coupent sur Vax-i radical des cercles P e^ P'.

410. Corollaire III, — Soit M {fig. 184) le point de rencontre des grands cercles tangents en A et A' ; les arcs de cercles MA et MA' sont égaux ; inversement, si ces arcs sont égaux, il existera un cercle tangent en A et A' aux arcs MA et MA', par suite aux cercles P et P' ; donc M est sur l'axe radical.

Réciproquement , si d'un point M de l'axe radical on peut mener des grands cercles MA, MA' tangents aux deux cercles, ces arcs tangents sont égaux. En effet, soit M' le point où la droite OM rencontre la droite L {fig. 184). Les droites M'A, M'A' étant tangentes à la sphère sont égales; de là résulte l'égalité des angles AOM' et A'OM', et par suite celle des arcs AM', A'M'. Donc :

Le lieu des points d'où l'on peut mener à deux cercles des arcs de grands cercles tangents égaux est la portion de l'axe radical d'où, l'on peut mener des arcs de grands cercles tangents à l'un des cercles.

Fig. 184.