Il en résulte immédiatement la proposition suivante

Cette portion de Vaxe radical est le lieu des pôles des cercles orthogonaux aux deux cercles donnés.

412. Les centres radicaux de trois cercles sont les seuls points d'où l'on peut mener des arcs de grands cercles égaux tangents aux trois cercles.

Si ces arcs tangents existent, il y aura un cercle orthogonal aux trois cercles donnés ; ce cercle aura pour pôles les centres radicaux.

P et P' deux cercles donnés dont les plans se coupent suivant une droite L ; soit G un cercle orthogonal à ces deux cercles. Le pôle du plan du cercle G devra se trouver (404) dans les plans des cercles P et P', c'est-à-dire sur la droite L ; il en résulte que le plan du cercle G contient la droite X, polaire réciproque de L par rapport à la sphère.

Réciproquement, tout cercle dont le plan passe par la droite L est orthogonal à tout cercle dont le plan passe par X. En effet, le pôle du premier plan est situé sur la droite X, par conséquent dans le plan du second ; donc (404) les deux cercles sont orthogonaux.

On obtient ainsi, sur les sphères, deux faisceaux de cercles orthogonaux.