VI. (GBAD) = (DABG) = (ADGB) = (BGDA) = .
Les rapports anharmoniques qui figurent dans une même ligne horizontale peuvent se déduire de l'un deux par l'application de la première remarque.
Le groupe II se déduit du groupe I par l'application de la 2^ remarque; le groupe III du groupe I par la 3" remarque; le groupe IV du groupe III par la 2«; le groupe V du groupe II par la 3e ; enfin le groupe VI du groupe V par la 2^.
On voit que parmi les vingt-quatre rapports anharmoniques six seulement sont distincts.
Enfin, si deux systèmes de quatre points ont un rapport anharmonique égal, les autres rapports anharmoniques correspondants sont aussi égaux.
i IV. '
Divisions homographiques.
13. Divisions correspondantes. — Soient L et Li deux droites quelconques ; désignons par x l'abscisse (3) d'un point M de la droite L, par x^ l'abscisse d'un point Mj de la droite Li : si l'on assujettit x et Xi à vérifier une équation
on fait correspondre à chaque point M de la droite L un ou plusieurs points Mi de la droite Li, et inversement à chaque point Ml de la droite Lj on fait correspondre un ou plusieurs points M de la droite L.
On dit alors que les points M et Mj décrivent des divisions correspondantes ; L et Li sont les bases de ces divisions ; les points M et Mi dont les abscisses satisfont à l'équation (1) sont des points homologues des deux divisions ; l'équation (1) est Y équation de la correspondance.
14. Remarque. — Si l'on change l'origine (3) sur les droites L et Li, il faudra remplacer x et Xy respectivement par h + x\ l-\-x[; l'équation de la correspondance devient
Si l'on change seulement le sens sur l'une des deux droites, il faudra changer le signe de l'abscisse correspondante.
15. Divisions homographiques. — Deux divisions sont dites homographiques si l'équation de la correspondance est du premier degré par rapport à chacune des variables, c'est-à-dire de laforme
(2) Aa?a?i-f-BiP-hCa?,-hD = 0, A, B, C, D étant des constantes .
DIVISIONS HOMOGRAPHIQUES 11
On peut remarquer que la relation (2) conserve la même forme quand on fait un changement d'origine ou un changement de sens (14) sur les bases.
L'équation (2) contenant a? et Xi au premier degré, il en résulte qu'à chaque point M de la droite L correspond, en général, un seul point Mj de la droite Li, et inversement.
16. Discussion. — 1° A est différent de zéro. En divisant par A, on pourra écrire la relation (2) sous la forme
(3) XXi — ax— I^Xi -\- y — 0, ou encore
(4) (.2^1 a) (x — 8) = ap — Y = k.
Soient 1 le point de la droite L qui a pour abscisse p, J le point de la droite Li qui a pour abscisse «. On sait (3) que
IM = a7 — [i, JMi = a?i — a;
la relation (4) donne alors
(5) lMxJMi = Â;.
Si k est nul, à tout point M de la droite L, autre que le point I, correspond toujours le point J; à tout point Mi de la droite Li, autre que le point J, correspond toujours le point I. L'homographie est dite singulière.
Supposons k différent de zéro; si IM croît indéfiniment, JMi tend vers zéro; donc au point situé à l'infini sur la droite L correspond le point J sur Li ; on voit de même qu'au point à l'infini sur la droite Li correspond le point 1 de la droite L. Ces points I et J sont les points limites de l'homographie.
2° A est nul. — La relation (2) s'écrit alors Bx-hCxi + D = 0.
Gomme B et G ne sont pas nuls, on tire de là
Soient A le. point d'abscisse h sur L, Ai le point d'abscisse 0 sur Li. On sait que
xi = AiMi, x — h — AM.
La relation (6) donne
AiMi = k. AM.
Les droites L et Li sont divisées en parties proportionnelles. On dit que les deux divisions sont semblables.
Si A" = + 1, les divisions sont dites e^a/e^ ; si k = — \, les divisions sont égales et de sens contraires.
17. Théorème. — Dans deux divisions homographiques, le rapport anharmonique de quatre points quelconques de la première division est égal au rapport anharmonique des quatre points correspondants de la seconde.
Pour le démontrer, nous allons chercher la relation qui existe entre deux segments correspondants quelconques MN, MiNi des deux droites.
Si les divisions ne sont pas semblables, on a
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