IM' '""^ = W
(7) M.N, = ™.-JM. = A__1 = ^.MN.
Si les diviseurs sont semblables, on a
AiMi = A-.AM, AjNi = A-.AN,
(8) M,N, = A,N, — AiMi = yt.MN.
Cela posé, soient A, B, C, D quatre points quelconques de la droite L, Ai, Bi, Ci, Di les points qui leur correspondent sur Li. Formons à l'aide de la formule (7) ou de la formule (8), suivant le cas, les valeurs des segments qui entrent dans le rapport anharmonique (AiBiCiDj); on trouvera
(AiBiCDi) = (ABGD).
18. Réciproque. — Soient A, B, G trois points distincts de la droite L, Ai, B,, Ci trois points distincts de la droite Li ; si à chaque point M de la droite L on fait correspondre le point Mi de la droite Li tel que
(9) (ABCM) = (AiBjCiMi),
la correspondance ainsi établie entre M et Mi est homo graphique.
En effet, si a, b^c.x sont les abscisses respectives de A, B, C, M, et a^, bi, Cl, Xi celles de Aj, Bi, Gi,Mi, la relation (9) conduit
; DIVISIONS HOMOGRAPHIQUES 13
à l'équation
{a — c){b — x) (ai — Ci)(6i — Xy)
{a — x){b — c) (ai — ^i)(6i— Ci)'
qui est l'équation d'une correspondance homographique.
19. Corollaire. — Trois couples de points homologues déterminent une correspondance homographique .
Soient A, B, G trois points de la droite L, Ai, Bi, Ci trois points de Lj ; il existe une correspondance homographique (18) qui fait correspondre aux points A, B, C les points Ai, Bi, Ci, c'est celle qui est définie par la propriété (9).
Il n'existe pas d'autre correspondance homographique faisant correspondre aux points A, B, C les points Ai, Bi, Ci, car pour une telle correspondance homographique la propriété fournie par la formule (9) existe toujours (16).
20. Deux divisions homographiques d'une troisième sont homographiques.
Considérons une première correspondance homographique entre les points d'une droite L et d'une droite Li, une deuxième entre ceux de la droite L et d'une droite La. A chaque point M de L correspond par la première un point Mi sur Li, et par la seconde un point M2 sur Lo. Je dis que Mi et Ma décrivent des divisions homographiques. En effet, soient A, B, C trois points quelconques de L, Ai, Bi, Cj ceux qui leur correspondent sur Li, A2, B^, C2 ceux qui leur correspondent sur L2. On aura (17)
(ABCM) = (AiBiCiMi), (ABCM) = (A2B2C2M2) ;
donc
(AiBiCiMi) = (A.BaCaM^).
Il en résulte (18) que la correspondance entre Mi et M.2 est homographique.
21. Divisions homographiques de même base. — Deux divisions homographiques peuvent être situées sur une même droite. On appelle point double de l'ensemble des divisions
homographiques un point de la première division qui coïncide avec son homologue dans la seconde.
Supposons A 7^ 0, et prenons comme origine le milieu 0 des deux points limites. On aura (16) p = — a; l'équation de la correspondance homographique devient
(10) {Xi — <x)(x^a) = k. '
Pour un point double, on a x = Xi = ^; donc
Si yt -{- a2 est positif, il y a deux points doubles ; le milieu des points doubles coïncide avec le milieu des points limites.
Si k-\-'^^ est nul, les points doubles sont confondus.
Si A; H- a2 est négatif, il n'y a pas de points doubles.
En introduisant l'abscisse ^ de l'un des points doubles, l'équation (10) de la correspondance homographique s'écrit
(11) xxi^ci.(xi — x) — k^=0.
Supposons maintenant A = 0. L'équation de la correspondance devient
Xi = k{x — h).
Si le point M s'éloigne indéfiniment, il en est de même du point Ml ; le point à l'infini est un point double. En faisant X = xi dans la formule précédente, on trouve un second point double dont l'abscisse ^ est donnée par la formule
kh
Si k = l, ce second point double est rejeté à l'infini.
22. Théorème. — Le rapport anharmonique des deux points doubles et de deux foints correspondants quelconques est constant.
Soient H et K les deux points doubles, M et Mj deux points correspondants quelconques. Ces quatre points ont respectivement pour abscisses ^, — ^, a?, a?i ; donc
X — l ^1 + ^ XXi — Hxi — x) ^"2
(HKMM,) = r X r = — tH ^•
