Théorème

L'aire d'un triangle existe; cette aire a pour mesure la moitié du produit d'un côté par la hauteur correspondante.

Soit ABC un triangle {fig. 284).

Considérons un carrelage plan quelconque ; menons par le sommet A R\ une parallèle AM à l'une des bases

Fig. 284. de ce carrelage ; cette droite AM

partage le triangle en une somme ou une différence de deux

triangles AMB, AMC ; supposons que ce soit une somme (la démonstration se ferait de la même façon dans le cas d'une différence).

Menons du sommet A la perpendiculaire AH au côté BG, et des points B et G les perpendiculaires BK et GB à AM. AM étant parallèle à la base du carrelage, l'aire approchée du triangle AMB a pour limite

^AMxBK; l'aire du triangle AMG a de même pour limite

-i-AMxGB; donc (547), l'aire approchée du triangle ABG a pour limite

Mais (550), on a

-|-[amxbk-hamxcb].

AMxBK=: BMxAH, AMxGR ^ GMxAH; donc l'aire approchée du triangle ABG a pour limite

|bgxah.

L'expression de cette limite montre bien qu'elle est indépendante de la position des bases du carrelage.

552. Théorème. — Tout polygone plan a une aire. Il suffit de remarquer maintenant que tout polygone plan est une somme de triangles (520).