Pour définir Taire d'une figure plane, nous avons formé
[418,419] un carr-e/a^e /)/an ayant pour côté — ; soit [j. le nombre des carrés dont le périmètre est tout entier à l'intérieur de
la figure ; l'expression — - est une valeur approchée par défaut
de l'aire de la figure .
Nous allons démontrer que, dans le cas d'un polygone, l'expression — j a une limite quand n croît indéfiniment, et que
cette limite est indépendante de la position des bases du carrelage.
Cette limite est, par définition, le nombre qui mesure l'aire du polygone.
547. Théorème. — Etant donnés un carrelage plan et un polygone P qui est la somme de deux polygones Q et R, si les valeurs approchées par défaut des aires des polygones Q etB. ont séparément une limite quand n croît indéfiniment, il en est de même de l'aire approchée par défaut du polygone P ; cette dernière limite est égale à la somme des deux autres.
En effet, le nombre p des carrés situés à l'intérieur de P se compose de trois parties : 1» les q carrés situés à l'intérieur de Q ; 2° les r carrés situés à l'intérieur de R ; 3° les X carrés qui
ont des points intérieurs à Q et R et qui, par conséquent, sont coupés par la ligne de séparation de Q et de R. On a donc
Pour démontrer le théorème énoncé, il suffit de montrer que — r tend vers zéro quand n croît indéfiniment.
En effet, soit AB un des côtés de la ligne de séparation des polygones Q et R et considérons deux carrés consécutifs qui sont coupés par ce côté. Deux cas peuvent se présenter : 1° la droite ÂB rencontre chacun des carrés en des points situés sur des côtés consécutifs [fig. 278) ; 2° la droite AB rencontre l'un
Fig. 278.
Fig. 279.
Fig. 280.
au moins des carrés en des points qui appartiennent à des côtés
opposés [fig. 279, 280).
Dans l'un et l'autre cas, le segment a(3 déterminé sur la droite
AB par le rectangle formé par l'ensemble des deux carrés est
\ plus grand que le côté du carré, c'est-à-dire que — • Si donc on
considère l'ensemble des carrés qui ont à leur intérieur un point du segment AB, le nombre de ces carrés est moindre que
/ étant la longueur AB ; ce nombre divisé par n^ a pour limite
zéro. Il en est donc de même de — r- qui est une somme de pa-
reils nombres; ce qui démontre le théorème.
548. Remarque. — Le théorème s'étend, de proche en proche, à une somme d'un nombre quelconque de polygones.
On voit de même qu'il existe un théorème analogue pour une différence de deux polygones.
549. Théorème. — Si un côté d'un triangle est parallèle à l'une des bases du carrelage plan, l'aire approchée par défaut a une limite égale à la moitié du produit de ce côté par la hauteur correspondante.
En effet, soit ABC un triangle dont le côté BG est parallèle à
la base Oa? du carrelage {fig. 281) ; considérons dans le carrelage deux parallèles à la base Ox qui coupent le triangle ; soit Py celle de ces droites qui est la plus
rapprochée du sommet A.
Comptons le nombre des carrés de cette bande qui sont à l'intérieur du triangle ; les côtés de ces carrés qui sont situés sur la droite py interceptent sur cette droite un segment bc. Le nombre de ces
carrés est donc
nycbc;
ce nombre est compris entre
wX^Y et nxpy— 2.
Si donc on désigne par P la somme des longueurs des lignes telles que Py P^^" L le nombre des bandes, le nombre des carrés situés à l'intérieur du triangle est compris entre
nV et nP — 2L.
Nous allons chercher une limite supérieure et une limite inférieure de P, puis une limite supérieure de L.
Pour cela, menons la hauteur AH du triangle ABC {fig. 282) ; désignons le côté BG par a, la hauteur AH par h; surlahau-
teur AH portons successivement des longueurs égales à —,
puis, par les points de division, menons des parallèles d^e^.
Fig. 281.
d^e^^ ...^dpBp au côté BG ; menons encore la parallèle suivante rf;;,ie^;j i5 qui est extérieure au triangle ; soient L, M, N, R les points où la hauteur AH est coupée par les parallèles dp^^^ep-^.
On a
dv^i
Fig. 28-2.
Op+\
OU
di^i = — — j nh
d'une manière générale,
dk^k = —rXk.
nh
On aura donc
Q = rf,ei
+ ^2^2 -h • • • H- dp,ep^ = — j- (1 4- 2 -f-
Mais
Q-Zk^P 2)(p 1).
donc
Q = —XkhxkM.
On trouve de même
Q' = difii^d^e^-] hc?yep= — xANxAR.
Cela posé, la première des lignes py? en partant du sommet A est plus petite que d^e^, la seconde est comprise entre diSi et d2e2, etc. La dernière de ces lignes coupe AH, soit entre les points L et M, soit entre les points M et N. Dans tous les cas, la somme P est comprise entre les sommes Q et Q'.
La distance de deux bandes étant — ? le nombre des bandes
est moindre que nh; donc
L < nh.
Le nombre des carrés intérieurs est donc compris entre
nQ' =
et
XANXAR nQ - 2L = ^ X AL X AM — 2n/i.
La valeur approchée de l'aire est comprise entre a
XANxAR et ^xALxAM- —
Ces deux nombres ont pour limite, quand n croît indéfini-
ah . , , , ,
ment, — -, ce qui démontre le théorème.
550. Remarque. — Dans un triangle, chaque hauteur est inversement proportionnelle au côté qui lui correspond.
En effet, soient AH et BK deux hauteurs du triangle ABC {fig. 283). Les deux triangles BCK et ACH sont semblables et donnent
