DIVISION HARMONIQUE
OU
(a — c)(b — d)-\-(b — c){a — d) = b, et en développant,
(3) 2ab^^cd—{a-i-b)(c-hd) = 0.
La relation (3) est la condition nécessaire et suffisante pour que les points G et D, dont les abscisses sont c et d, soient conjugués harmoniques par rapport aux points A et B, dont les abscisses sont a et b.
6. Application I. — Plaçons l'origine 0 au milieu I de AB (/?^. 3).
Dans ce cas, b = —a, et la relation (3) devient
—H ^ , ^ ^cd - 2a^ = 0,
A 1 C B D ou
^'^■^- (4) iÂ' = IG.ID.
Le produit IG.ID étant positif, les points G et D sont d'un même côté par rapport au milieu I de AB. Ce produit étant constant, si IC diminue, ID augmente, et quand G se rapproche du point I, le point D s'éloigne indéfiniment. De la relation (4) on déduit que si le point G vient se confondre avec le point B, il en est de même du point D.
7. Application II. — Plaçons l'origine 0 au point A ; il faut supposer a = 0.
La relation (3) devient
2ctZ = bc-\- bd, ou, en divisant les deux membres par bcd,
ou bien
AB
8. Problème. — Construire le conjugué harmonique du point C par rapport à deux points A e^ B (/îg. 4).
AG
AD
