ÎP' = IA.1B = IC.ID

Par les points A et B et

un point quelconque M du

plan faisons passer un cercle;

menons un second cercle par

les points G5D,M; en vertu

de la relation précédente,

l'axe radical MN de ces deux cercles passe par le point I, ce qui

détermine ce point ; menons ensuite la tangente IT à l'un des

cercles. On a .

Fig. 5.

RAPPORT ANHARMONIQUE DE QUATRE POINTS d'uNE DROITE 7

iT = IG.ID = ÏP' = IQ'.

Les longueurs IP, IQ sont égales à IT, ce qui permet de trouver les points P et Q.

Discussion. — Si les segments AB et CD sont extérieurs l'un à l'autre ou si T un des segments est intérieur à l'autre, le point I est situé en dehors de ces segments [378] (*) ; on peut mener la tangente IT. Le problème est donc possible et admet une solution.

Si les segments AB et CD empiètent l'un sur l'autre, le point I est intérieur à ces segments [378] et par suite à l'intérieur des deux cercles ; on ne peut plus mener la tangente IT ; le problème est impossible.

1 III- Rapport anharmonique de quatre points d'une droite.

10. Définition. — Le rapport anharmonique de quatre points situés sur une même droite, placés dans un ordre déterminé, est égal au rapport des distances du troisième point au premier et au second, divisé par le rapport des distances du quatrième point au premier et au second .

Pour représenter un rapport anharmonique, on écrit, entre parenthèses, les quatre points dans l'ordre où ils sont placés.

Ainsi, si A est le premier point, B le second, G le troisième; D le quatrième, le rapport anharmonique des quatre points est représenté par la notation (ABGD). D'après la définition, on a