Théorème. — Soient OR la résultante générale, OG le

moment résultant par rapport au point 0 d'un système de vecteurs (/îg'.121); le moment résultant AH de ce système par rapport à un point quelconque A est la somme géométrique de deux vecteurs :

l'un a même grandeur géométrique que OG ; l'autre est égal au moment de OR par rapport au point A.

11 en résulte qu'on aura l'égalité géométrique

(AH) = (OG) -+- (m' OR par rapport à A).

Fig. 121.

En effet, soient AHi, AH2, . . ., AH„ les moments de Pj, P2, . . ., Pn par rapport au point A. On aura (223) (AHO = (OGJ-h(m*ORi), (AH2) = (OG2) + (m' OR2),

(AH„) = (OG„)-H(m*OR„), tous les moments qui figurent dans ces formules étant pris par rapport au point A. En ajoutant, on aura

(AH) = (AHO-HfAHa)-^ ...-+- (AH„)

= [(OGi) + (OG2) -^ . . . -F (OG,0] + [(m* ORi)

+ (m'0R2)+ ••• +(m*ORn)].

La première somme est égale à OG, la seconde est égale (229) au moment de OR ; ce qui démontre le théorème.

235. Remarque I. — Si la résultante générale OR est nulle, (AH) et (OG) ont même grandeur géométrique; donc :

Si la résultante générale d'un système est nulle, le moment résultant est le même pour tous les points de l'espace,

236. Remarque H. — Soient AK le moment de OR par rapport au point A, AR la résultante générale au point A [fig. i^i). On a (234)

(AH) = (AG')-i-(AK),

et par conséquent (216),

(AR) X (AH) = (AR) X (AG') -h (AR) X (AK).

Mais AK est perpendiculaire à OR ou à AR, le produit (AK)x (AR) est nul ; donc

(AR) X (AH) = (AR) x(AG') = (OR) X (OG).

Ainsi :

Le produit géométrique de la résultante générale et du moment résultant par rapport à un point d'un système de vecteurs est indépendant de la position de ce point.

Il est facile de trouver une expression de ce produit géométrique.