OM

i*ar consé(juenl, dans la Ibrniule(i), on peut prendre indifféremment pour a l'abscisse O/ii du point M infiniment voisin de 0, ou la corde 0^1, ou encore l'arc OM, car il ne diffère de sa corde que d'un infiniment petit du troisième ordre. Cette corde est, en effet, le double du sinus de la moitié de l'arc, et le sinus d'un arc infiniment petit est égal à l'arc lui-même quand on néglige les intinimenl petits du troisième ordre. Nous ne faisons pas de distinction entre les arcs OM de la courbe w et du cercle, parce qu'on doit les considérer comme se confondant à la limite.

. Si l'on re|)résente par s l'angle de contingence, on aura

•t, en vertu de ré(|ua(i(Mi ( i).

Ra= X,

— lî

779. Pour déterminer h l'aide de la formule (r) le rayon de courbure d'une ligne plane, eu un point donné, on prend la tangente et la normale en ce point pour axes des abscisses et des ordonnées. On fait ensuite l'abscisse .r infiniment petite : l'oidonnée r devient infiniment petite du second ordre; on néglige les

termes d'un ordre plus élevé, et la valeur de — donné(> par l'équation est le ra\on cbercbé.

CIIM'ITIU; I. - TIIÉORIK GKNÉIÎALE. 3

Par exemple, si nous voulons avoir le rayon de courlnii'p de l'ellipse en un de ses sommets, nous remarquerons que, la tangente et la iioiniale en un sommet étant prises pour axes, eette courbe est représentée par l'équation

Cl- b- 1)

l,orsque l'on suppose x iiiiiniment petite, y devient infiniment petite du second ordre, et son carré doit être négligé. Nous avons alors

— ; T- = (), d ou K = — •

On déduit tacilemcnt de cette formule la construction que nous avons doiiiici' sans démonstration dans la seconde note de l'article 493.

780. Pour second exemple, nous chercherons l'expression générale du ravon de courbure de la parabole représentée par l'équation

y- — ipx = o.

Nous prenons le point A considéré sur la courbe pour origine d'un nouveau système d'axes rectangulaires, formé par la tangente kx et par la normale Ay' à la courbe en ce point. L'angle de kx' et de l'axe primitif des x étant 6 et l'ordonnée du point A étant y,, les formules de transformation des coordonnées sont

X = x'cosô — y'sinS -!- ^-^>

y =.- .r'sin5 -i- y'cos5 -t-j',.

I/équation de la parabole devient

x'- sin-6 -(- "ix'y sin(5cos9 + V' cos-5

-f- 2(y| sinî — />cos5)j?'+ 2 (y, cos9 -l-/jsin5)y' = o.

Pour que l'axe des abscisses soit tangent à la courbe, il faut que la valeur zéro de y' donne pour -z' deux valeurs nulles, et par suite que le coetficient du terme (|ui contient la coordonnée x' seule et à la première puissance s'évanouisse. Nous avons donc

(«) >', sini — /; cos5 — o,

x"- sin'-5 -4- 2 x'y sini* cos5 + y'- cos-ô -(- 2(y| cos5 h- p sinô)/'— o.

Lors(|uc .r' est infiniment petite, y' devient intiniment petite du second ordre;

/J LivHK VIII. - r.orurtiiiE des sireaces.

siippriiiianl les termes d'un ordre plus élevé, on a

■v"- sin-5+ 2(y, cos5 +/>sin5)y = o;

d'où

T, r, cosO -h/j sinO

sm-6

Kliniinant enfin 0 au moyen de l'équation (a), on obtient

l'on trouve par cette formule que le rayon de courbure au sommet est égal à />.

Théorème de M. Joseph Bertrand. — Théorème d' Euler.

Indicatrice.

781. Nous avons vu que toutes les courbes qui sont tracées sur une surface, et qui se croisent en un point, y sont tangentes à un même plan; nous allons maintenant étudier plus intimement les relations qui existent entre ces ligno.

Soient

OZ la normale à une surface en un point 0 [fig. 327);

OX et OY deux tangentes rectangulaires quelconques ;

()?il et ON les sections de la surfoce par les plans ZOX et ZOY.

Nous prenons sur OX et OY des longueurs infiniment petites égales à ()m et O//. et par les points jn et n nous concevons des plans respectivement parallides à ZOY et à ZOX ; ils coupent le plan XOY suivant les droites mp et np, et la surface suivant les courbes MP et NP se rencontrant en P.

La surface étant continue, le rayon de courbure de la ligne MP au point M ne diffère que d'une longueur infiniment petite du rayon de courbure de la ligne ON au point 0; les longueurs des ordonnées |5 correspondant à une même grandeur de a sont donc égales pour ces deux courbes (art. 777), et par suite, si la tangente à MP au point M était la droite MY' parallèle à OY, l'ordonnée pV serait égale à (wM + «N). Il résulte de là que l'angle infiniment petit, compris entre la tangente à MP au point M et la droite ^lY', est égal ii

wM-i- «N — pP

mp

Mais cet angle est aussi égal ii celui que la normale MK ;i MP fait avec la

cil \piTHi: I. - THÉORIE gém':ra[.k. 5

droite ME, parallèle à OZ; on a donc