EME

On tronvc de même

/<C>; m M H- rt N — IJ I'

np

Enfin, les longueurs mp et tip étant égales, on a

EME, = GNG,.

La droite ME est dans le plan ^\mp qui n'est pas normal à ()M, et par suite elle n'est pas normale ii la surface. Pour la rendre normale, il faut la l'aire tourner autour de la tangente à MP en M, jusqu'à ce qu'elle soit perpendiculaire à OM : mais la tangente à MP faisant avec le plan ZOX un angle qui ne ditrere d'un droit (|ue d'une quantité infiniment petite, et le déplacement de la droite ME étant luimême infiniment petit, l'angle qu'elle fait avec le plan ZOX n'est altéré que d'une quantité infiniment petite d'un ordre élevé. Les angles infiniment petits que les normales à la surface aux points M et N font respectivement avec les plans ZOX et ZOY sont donc égaux aux angles EME, et G\G,, et par suite égaux entre eux. De là résulte un théorème dû à M. J. Bertrand ('), et que nous énoncerons plus loin.

782. Soient MF la normale à la surface au point M, et MF, sa projection sur le plan ZOX. Nous nous proposons de déterminer l'ordre de grandeur de la différence des angles EME, etFMF,.

Les droites ^ME,, .MF, et MP forment un trièdre dans lequel le dièdre le long de ME, est droit; on a donc

cosPMF, =. eosPME, cosE.MF,.

Mais les angles PMF et PME sont droits ; nous pouvons par conséquent écrire

cos(9o"+FMF,) = cos(9o''4-ÊME,)cosE,MF, ou bien

sinFMF, = sinEME,cosE,MF,:

(1) Journal de M. Lhiiville, i844-

L'étude des systèmes de droites qui ne sont pas normales à une surface est en dehors de notre cadre. Les personnes q li voudraient connaître cette question peuvent consulter le Mémoire de M. .1. Bertrand, et les développements qui ont été donnés à cette partie de son travail par Duhamel {éléments de Calcul infinUrsinuil, t. II).

IJVRI-: VIII. — cûLiuiLiu; des slufaces.

et, comme les trois angles FMF,, EME, et E|MF, sont infiniment petits, il siilïll (le négliger dans chaque membre les ternies du troisii'me ordre pour avoir

OIF, = E'^IE, .

78.". Nous appellerons dniri/ion de la nornuile à une surface, en \\n point M voisin d'un [)oint considéré 0, l'angle F.MF, l'ornié par la normale en .M avec le plan ZO^r qui contient le point M et la normale en O('). On peut, en employant cette expression, énoncer comme il suit le théortmie de M. J. Bertrand : Les déviations des normales en deu.r points d'une surface, situés à des distanees infiniment petites égales d'un p^int considéré et dans des directions rertangulaires. sont éaalcs en irran leur absolue.

Sur la Jig. 3^7, les droites MF et NH situées d'un niéme coté de la surface sont toutes les deux dans l'angle dièdre XOY. Cela résulte de ce que l'ordonnée /^P est plus petite que la somme (/«M 4- «N\ qui exprime la hauteur à laquelle serait le point P si la déviation était nulle; mais, quand le trinôme (mM -f- «N— yjPj est négatif, les droites MF et NH sont hors du dièdre XOY.

Si l'on conçoit que le plan ZOM tourne autour de OZ, la déviation de la normale au point mobile M variera, et, lorsque le plan sera confondu avec ZOX, la partie de la normale située au-dessus de la surface sera d'un coté différent de celui où elle se trouvait, (piand le plan avait sa position initiale. Il y a donc pour le plan au moins une position intermédiaire oùil contient la normale au point situé sur sa trace, à une distance infiniment petite de 0. Il jouit d'ailleurs de la même propriété dans une seconde position perpendiculaire à la première.