Soient maintenant
OZ la normale à une surface en un point quelcontiue 0 {fig. 328);
OM et ON deux sections de la surl'ace par des plans rectangulaires, tels que les
normales aux points de ces lignes infiniment voisins de 0 rencontrent OZ; OX et OY les traces des plans ZOM et ZOX sur le plan tangent en 0 à la surface; 00 la section par nu plan normal en 0 et faisant un angle ç; avec le plan ZOX; Oc/ la trace du plan ZOQ sur le plan tangent en 0.
Nous prenons sur 0</ un point q infiniment voisin de 0, et nous traçons d'abord lés droites qn et qm respectivement parallèles à OX et à OY, puis les droites yQ, wM et «N parallèles à OZ. Enfin nous appelons R, R, et Ro les rayons de
(') Transon a employé le mot dèriatinn dans un sens diirérenl [Journal de LiniwiUr, t. VI). Liouville s'est servi de l'expression de déi'iniio/i rtlntire dans la théorie des courbures comparées de deux lignes tangentes (5" édition de XJmiIrsc fippt'uiuee de Monge. i" Note). Nous pensons qu'il ne |ieut y avoir aucune confusion.
CIIMMTRK I. — THÉOIUE GÉNÉlUl.i:. 7
(•ourl)nrt' en () des seclions normales OQ, OM et ON. Nous avons inimédiatemcnl
La (lévialion est nnlleanx points .AI etN; pai'conséqnenl, si l'on fait passer par le point -\ un plan paralli'lc a ZOX, la tangente à la section NQ au point N sera parallèle à OX. 1) apri's cela, et eonforniénient à une observation de l'article 781, nous avons
lui rein|ihi(;ant r/Q, m M ri /(X pai' leurs valeurs déduites des [iremières équations, lin obtient
Th/' ()/»' ()«'
"îT ~ "n; ' "^ Tir '
Mais les longueurs 0//; et On sont respectivement égales à 0</ cosï. et à Oysins: nous avons donc
(4) ^^l-cos^o '-ik^'"'?-
Cette formule est due à Euler ( ' ).
Une surface divise l'espace en deux régions dont l'une esl appelée i/itcrieiirc v\ l'autre extérieure. En général, on choisit arbitrairement la région que l'on appelle intérieure : la partie de la normale qui y est située est \a normale intcrieiirc : I autre partie de cette droite est la normale extérieure. Quand la normale en un point aura été prise pour axe des:;, et que l'origine sera sur la surface, nous considérerons comme normale intérieure la partie de l'axe sur laquelle on mesurera les ordonnées positives. Les rayons de courbure positifs seront ainsi sur l;i noi'inale intérieure (art. 777;.
78o. Kn mettant l'équation (4) sous la forme
on reconnaît que r: varie toujours dans le même sens, depuis j— jusqu a yr-^
lorsque y croit de o à ±()()". Les rayons R, et Ro sont donc les limites des valeurs de R; l'un est son seul maximum, et l'autre son seul minimum. Il résulte de laque les sections normales ZOM c( ZON (y?^-. 328) ont des positions détermi-
(' ; Rpclirrclics sur In coitiburc da Miifiicc: .Mémoires (Je r.Vcadémie de Bi'rliii. i-Oo).
8 LIVRE VIII. - COURBIIU'; I>ES SLHFACES.
nées, et que l'on ne peut pas faire passer par OZdes plans autres que ZOX etZOY, et dont les sections soient telles que la normale à la surface au point voisin de 0 rencontre OZ.
On appelle sections principales d'une surface en un point les deux sections normales à la surface et perpendiculaires entre elles, dont les rayons de courbun' en ce point sont l'un maximum et l'autre minimum. Les plans des sections principales contiennent les normales à la surface aux points infiniment voisins de celui que l'on considère. Ces plans sont appelés plans principaux, et les rayons de courbure de ces sections rayons principaux.
786. Si l'on désigne par R' le rayon de courbure de la section contenue dans le plan normal perpendiculaire à celui dont l'azimut est y, on aura
2^^L^sin^^+îi-cos=y.
Ajoutant cette équation à l'équation (4), on obtient
ïï "^ ïï ' ^ ïï; "^ F^ ■
Par conséquent, en tout point cVune surface, la somme des courbures de deu r sections rrct an scalaires quelconques est constante (' ).
En multipliant l'une par l'autre les équations qui donnent les valeurs de -^ et
de îp) on obtient
787. Concevons dans le plan G tangent à la surAice au point considéré 0 [Jig. 829) une conique dont le centre soit en ce point et dont les axes p.7i et vX soient tangents aux sections principales MOP et NOL : en appelant a et ft les demi-axes Op. et Ov, (ole rayon vecteur Ot d'un point quelconque!, et 9 son azimut /j.Ot, l'équation de cette conique sera
(G) l = i,cos=y+^sin = y.
(>) CfUe remarque est duc à M"'" S. Germain [Joiunnl de C relie, i83i).
Babinet a générali-sé la formule; il a trouvé que si r,. r^, r^, .... r,„ sont les rayons de courlniie de*
sections faites par des plans normaux comprenant entre eux des angles égaux -, on a
[Comptes rendu.'., t. XXV.)
ciiuMiiir; [. — THÉORIE GKM';n\r.i:. 9
Si les carrés des axos sont proportionnels aux rayons de courbure des sections principales qui leur soûl rcspcctiveincul tangentes, c'est-à-dire si l'on a
rclant une longueur ailjilraire, les équations (4) et [G) donneront
0' = Rc.
\\ est le rayon de cuurluii't' di' la S(H'tion normale SOÏ délenuinée par l'azinuit 'j, et par conséquent tangente à tt.
On voit que la conique dont les axes sont déterminés par les é(niations (7) est telle que les carrés de ses rayons vecteurs sont pr(qjorlionn(ds aux rayons de courbure des sections normales tangentes à ces rayons vecteurs. On appelle cette conique indicatrice ; elle est déterminée de forme, mais non de grandeur, parce i|ue le paramètre c est arbitraire (' .
788. En appelant a' et // les demi-longueurs de deux diamètres conjugués de l'indicatrice, R', et R!, les rayons de courbure des sections normales respectivement tangentes à ces droites, on a
cl, comme les {\iH\\ binômes (rt'-4-//-) et («--1- Ir) sont égaux, on obtient
Ainsi, la somme des rayons de roi/rbiire de deur sections normales dont les plans contiennent des diamètres conjugués de l'indicatrice est constante.
789. Nous allons maintenant supposer que l'on coupe la surface par un plan parallèle au plan langent au point considéré; nous |»renons pour origine le point oii la normale rencontre le plan de section; nous appelons p le rayon vecteur du point de cette courbe qui correspond h un azimut z> mesuré à partir du plan de l'une des sections principales; enfin nous désignons, comme précédemment, par R le rayon de courbure de la section normale qui correspond à l'azimut 2. Si la distance :; du plan sécant au plan tangent est infiniment petite du deuxième ordre, le rayon p sera infiniment petit du })remier, et nous aurons, d'après la
l'oiinule (1),
