II ^ V

C) La théorie des indifalriccs est due à (lliarles l)u|iiii i Développements de Géométrie, >' .Mémoire).

MI. — Dr. LA CiOLiiNERiE. — />r>^cn'/)ti<v. 2

lo i.i\HK VIII. - (-.(Il i;!;i lîi: di-.s sirpaci-;

puis, eu l'IiniinaiU H par la forimilc (^),

-5-^5- cos-o + ï^ siiro.

l'ji laisaiU successivemeiU o égal à zéro et à 90", et en appelant a »•( 0 les valeurs edrrespondantes de 0, ou (li)lieiil

et par suite

— COS-CS -i- y-; sin-ffi.

Cette équation représente une conique dont les demi-axes a et h, donnés par les équations (9), sont proportionnels aux demi-axes de l'indicatrice déterminés par les formules (7). C'est l'indicatrice que l'on obtient lors((ue l'on attribue au parami'lre arbitraire r une grandeur infiniment petite du second ordre 2:;. D'ailleurs, les ordres de grandeur des quantités intiniment petites nesonlque relatiCs, et il n'y a pas lieu de préciser l'ordre de l'ordonnée ;, quand on ne la compare pas à d'autres longueurs indniment petites. Nous avons donc ce tliéorème :

/ // />/(i/i ixintllcle (lit j)lan t uniment à une surface en un point , et in/inuiwnl rapproché de lui, coupe la surface su'wanl une courbe qui, dans la partie roisinc du point ronsu/éré, se confond avec une conique hotnnthè tique de i itulicatrice .

La courbe d'intersection peut s'étendre loin du point et avoir dilléreiites brancbes. (k's parties éloignées n'ont aucune influence sur les rayons de courbure des sections normales, et par suite aucune relation nécessaire n'existe entre elles et l'indicatrice.

Si la conique est une ellipse, tous ses points seront à des distances intiniment petites du point considéré, et elle se confondra avec une brandie complète de la courbe d'intersection; si elle est une byperbole, elle se composera de deux petits arcs infîniment rapprocbés du point, et de prolongements indéfinis dans la direction des asymptotes. Ces prolongements n'appartiennent pas à la section faite dans la surface.

790. Le tbécu'ème (|ue nous venons de «lémoutrer est iuiportant, et par suite nous croyons utile de l'établir d'une manière directe.

Nous plaçons l'origine au point considéré sur la surface, et nous prenons la normale à la surface en ce point pour axe des :; : les deux autres axes seront des droites rei'taiigulaires situées dans le plan tangent. Nous supposons enfin que re(|uatiou de la surface considérée 1 est algébrique.

Ouand une courbe plane est rapportée ii deux axes situés dans son plan, et

CIlM'ITIiK I. - TIIKORIE GKNEliAMÎ. I r

qu'elle touche celui des abscisses à l'origine, sou équation ue renferme ni ternie constant, ni terme couleiuuit l'abscisse seule et à la premii're puissance; car, parmi les valeurs de l'abscisse qui correspondent à la valeur zéro de l'ordonnée, il faut qu'il y en ait deux ([ui soient nulles. Par les mêmes motifs, notre surface 1 étanttangente à l'origine au plan des deux axes des .x; et des r, son équation doit être dépourvue du terme constant et des termes du premier degré en .r et en j. Si nous ne considérons que la partie voisine de l'origine, et pour laquelle les coordonnées x et r sont inlinimcnt petites, l'ordonnée :■ sera intiniment petite du second ordre, et, d'après la composition de l'équation, tous ses termes seront infiniment petits au moins du deuxième ordre. Ceux qui sont d'un ordre plus élevé devant être négligés, on voit que l'équation se réduira à la forme

( I o) A .r= -f- H .r y + \\y- -+-Cz = u.

La partie de la surface il voisine de l'origine appartient donc à une surface du second ordre, ou plutôt à toutes les surfaces qui sont représentées par l'équation du deuxième deeré

A.r- -\- hxY -+- y V- -+- K =' + K' ::.r + K" v= + C: = o.

dans laquelle K, K' et K" sont des coetricients indéterminés, car cette équation devient identique avec (lo), lorsque :; est infiniment petite du second ordre.

Le théorème que nous avons établi à l'article précédent est une conséquence immédiate du résultat que nous venons d'obtenir. Pour étendre cette démonstration au cas où la surface est transcendante, il suffit de supposer (jue son équation a été développée suivant les puissances ascendantes entières des variables i';.

791. Si l'on considère s comme une quantité constante et infiniment petite du second ordre, l'équation (lo) représentera une indicatrice (art. 789'. Il suffira donc, pour connaître les positions des sections principales, de déterminer les axes de cette coni(|ue. Prenant ensuite ces di'oites pour axes coordonnés, on aura, pour représenter la courbe, l'équation

Si nous désignons, comme précédemment, par a et h les longueurs des demi-axes, nous aurons

('j Le tlicorèmc do runicle 789 cLanl olaljli direclomeiiL. nous poui'rions. par des raisonncmonls analogues à ceux de cel article, en déduire la formule d'Euler, qui sérail ainsi démontréi' d"mic seconde manière.

12 I.IVMK VIII. - COLHIU liK liKS SIRI'\CES.

d'où, (Ml vciiii (les (^'(iiiations (9),

(l3) R,= Jl-, R,= .__^.

Conrui'iiiL'iiU'iil à une observation (jue nous avons pi'ésentée, à l'arli(,'le 777, un rayon deconrhure sera positif ou négatif, suivant que la section tournera sa con- (•avil(;' (lu ('('lié (le l'axe des z, sur lequel on mesure les ordonnées positives, ou de l'autre e('>té.

792. Lors(ju'eii un point commun les sections principales de deux surfaces sont deux à deux dans les mêmes plans et osculatrices, leurs sections par un plan normal (]U(di'oii(|ue ont des rayons de courhure égaux. On dit alors (jue les surfaces sont osculatrices.

La surface du second ordre représentée par l'équaticui (1 i) est osculatrice de la surface considérée 1, car cette équation devient i(lenti(]ue avec (10) lors((ue l'on suppose que l'ordonnée :; est infiniment petite du second ordre, et par suite les plans et les rayons de courbure des sections principales sont les mêmes dans les deux surfaces pour le point qui est à l'origine.

Ouand ou donne à z une valeur finie et constante, l'équation (11) représente une se(ti(m de la surface par un plan parallèle à celui desjrr, et cette section est une coni(|ue liomothétique de celle que l'on obtient en attribuant à ; une valeur iiitiniment petite du second ordre, car les coefticients des termes du second degré sont les mêmes; elle est donc aussi bomotliéti({ue de l'indicatrice (art. 789).

Une surface quelconque est osculée en un point donné par une infinité de surfaces du secoiul ordre, et les sections de ces surfaces par des plans parallèles au plan taitl^ent en ce point sont des coniques homotlu'ti'pies de l'indicatrice.

Quand K' et K" sont nuls, on a

( 1 4 ) A ^- + B xy + A' V- ^- K ;= -4- C ; = ().

Cette équationreprésente une surface du second ordredont l'axe des r est un axe, et dont, par conséquent, un des sommets esta l'origine point d'osculation. Comme d'ailleurs l'équation contient encore un coefficient arbitraire, nousvoyons qu'/z/ze infinité de surfaces du second or-dre sont osculatrwes en un de leur's sommets d'une surface quclcorujue en un point donné.

Dans le paragrapbe suivant nous reviendrons par d'autres considérations sur la llie(uie de ces surfaces osculatrices.

Des raisonneineiils analogues à ceux que nous venons de présenter font aisément trouver les équations des surfaces algébriques qui ont avec la proposée, en un point donné, un contact d'un ordre déterminé et supérieur au second.

r.iiuMTHi': 1. - Tiii:op.iK (iKNEiiALr:

Discussion de la formule (V Euler.

79.J. Cas où les deux niyoïis principaux sont de même sis;ne. — Nous ;illoit> niaiiilcnant chercliei- les conséquences de la formule d'Eulcr dans les (linVMenls eas qui peuvent se présenter. Nous su|iposernns d'ahord <jMe les deux ravous principaux sont de même signe, et nous les considérerons comme positifs.

On voit facilement que le rayon de courbure R est toujours positif, et compris entre IL et R, (art. 78o). Si nous prenons sur la normale OZ (/%. 829) des loniiuenrs OE et ()F respectivement égales à R, et à R^, le centre de courbure d'une section ([uelconque SOT sera en un point C du segnient FE. Il en résulte que près du point 0 la surface est entièrement d'un même coté de son plan tangent, et (|a'elle n'a, par conséquent, que ce point de commun avec lui.

Les carrés à- et h- donnés par les équations (7) sont de même signe, et positifs quand on attribue à c une valeur positive. L'indicatrice est donc une ellipse. On appelle surfaces convexes celles dont, en tous les points, les indicatrices sont des ellipses.

Quand les valeurs de R, et de IL sont égales, l'indicatrice est un cercle, et les rayons de courbure de toutes les sections normales sont égaux. On appelle ombilics les points singuliers oîi cette circonstance se présente.

7î)i. Quand une surface 2' a en un point ()' les même-s rayons principaux qu'une autre surface :ï en un point 0, on peut évidemment la placer de manière que, le point 0' étant confondu avec le point 0, elle soit osculatrice de ^.

(^onsidcrons un ellipsonle scalène {Jig. 3'3o; : au sommet 0' les deux sections principales sont les ellipses principales iM'O'P' etN'O'L', car la normale O'K esi rencontrée par les normales à la surface aux différents points de ces courbes, et notamment à ceux qui sont iiitininient voisins de 0'. Si nous appelons a, b et c

les demi-axes KM', K.N' et KO', les rayons de courbure principaux sei'ont '^ et —

(art. 779). Par conséquent, pour que l'ellipsoïde puisse être rendu osculateni' en son sommet 0' de la surface ^ au point 0 [fig. 329), il faut et il suffit (pie l'on ait

H, et R. étant les rayons principaux de la surface 2 au point O.

Il n'y a (|iie deux équations pour déterminer les trois demi-axes a, b c( r; une surface convexe a donc pour cbacun de ses points ww infinité d'ellipsoides osculateurs en un de leurs sommets. Si l'on se donne la position du centre de l'ellip-

solde sur la normale, le demi-axe c sera déterminé, et les équations (i5) feront connaître les demi-axes a et è; ils seront toujours réels quand c sera positif, et pai' suite tout point de la normale situé du côté de la concavité de la surface est le centre d'un ellipsoïde osculateur. Si l'on donnait ;i c des valeurs négatives, ir et Ir seraient négatifs, et l'on aurait des hyperboloïdes à deux nappes osculateurs en un de leurs sommets.

Si l'on prend pour axes coordonnés les droites Op., Ov et OZ {fig- 32r)), l'é- ({uation de l'ellipsoïde osculateur sera

, ., x- y- z'—'ic:

(iG)

It, ' H,

Quand le centre de l'ellipsoïde est au point E, centre de couriturc de la section principale JMOP {/ig- 329), on a

(17) c = R,, a = \\,, /> = VR,R„

et la surface osculatrice est de révolution autour de l'axe parallèle à •/).. Klle serait de révolution autour de l'axe paiallèle ;i im si son centre était en F.

795. Dans un ellipsoïde osculateur en l'un de ses sn/nniets. l'ellipse principale située dans un plan parallèle au plan tangent commun est homothèlique de l'indicatrice, caries équations (13) qui en déterminent les axes sont identiques aux équations (7) qui d{jnnent les axes de l'indicatrice. La dislance O'K du centre de l'ellipsoïde au point considéré {Jig- 33o) est le paramètre arbitraire qui entre dans les expressions des axes de l'indicatrice.

Toute section de l'ellipsoïde osculateur que nous considérons, par un plan parallèle au plan tangent commun, est une ellipse /////«' homotliétique de l'ellipse principale P'N'M', et par conséquent homotliétique de l'indicatrice. Ce résultat est d'ailleui's une consé(juence du théorème plus général de l'article 792.

790. ('fis où les rayons de courbure principaux- sont de signes différents. — Les é(|uations (6) et (7) montrent que, quand les rayons principaux sont de signes différents, l'indicatrice est une hyperbole dont les asymptotes font avec la tangente de la première section principale un angle * pour lequel on a

(>8) tang$ = ±y/-l[;-

Nous traçons dans le plan tangent au point considéré () [fig- 33 1) les droites OX et OY, respectivement tangentes aux sections dont les rayons sont R, et R^, et les droites Y, V et M ^X faisant avec ()X l'angle <!' : toute hyperbole dont ces lignes sont les asymptotes peut être prise pour indicatrice. Nous considérons celle

i.llVIMTnE I. — TIIKORIE GENERALE. I D

qui a SOS soinmols en îles points y. et n situés sur l'axe OX à une distance avhiliaire du point 0. Si R, est positif, elle corres[»ond à une valeur positive du parani('ti(> r. [.es rayons de courbure étant proportionnels aux carrés des rayons vecleurs de l'indicatrice, le rayon H de la section laite par le plan normal (|ui a pour trace sur le plan tani;('nt la droite tOt est donné par l'expression

r=Er..

Lorsque le poini r parcourt l'Iiyjierbole, le rayon vecteur Ot varie de O'i ;i l'intini, et le rayon de courbure de la section normale, de R, à l'infini. Quand la droite

(jOtcsI dans l'angle supplémenlaire des asymptotes, la ([uaiitilé Ot est négative, et le rayon de ((iiirbure H est dirigé en sens coniraire des précédents. L'Iiyperbole qui a ses sommets aux points - et p. n'indique plus les variations du rayon de courbure; mais, si nous traçons une liyperbole dans l'angle supplémentaire des asymptotes, nous aurons une indicatrice qui correspondra à une valeur négative de la constante c, et qui lera connaître les rayons de courbure négatifs.

Quand les valeurs de r (jui déterminent les deux byperboles sont égales en grandeur absolue, on a, en vertu des équations (7),

OX" ôV. d'où

0|x -y Hi

l't. en ayant égard à l'équation (iB),

TT- = ang<l>.

D'après cela, pour (jue les longueurs des rayons de courbure obtenues par la considération des deux liyperboles soient comparables entre elles, il faut (|tn' les sommets de ces courbes appartiennent ii un rectangle ayant les asymptotes pour diagonales.

En résumé, /c rayon de courbure d'une section normale es/ /losi/if ou /ic'^d/i/' suivani que la trace du plan sécant sur le plan ta/iffv/it est coniprise dans l'un ou dans l autre des deux a/i^les des nsyniptotes de l'indwatrice ; cluupie rayon de courbure principal est, en grandeur absolue, le minimum des rayons de courbure (pii ont même signe (pu- lui. Enfin, chacune des deux sections normales dont le plan conlient une asymptote de l'indicatrice a un rayon de courbure infini, et par suite les asymptotes de l'indicatrice ont un contact du second ordre mec la su/face.

iC, l.lVIiE VIII. - CUL lîliLRE IiES SURFACES.

Lonque les rayons principaux ont des grandcius absolues égales, les asy/nploles lie l'indiratrire sont rectangulaires, et récipnHjuenwnt.

Les surfaces qui ont en chacun de leurs points des liypeiholes pour indicatrices sont dites à courbures opposées.

797. Les sections faites par des plans iKiiinaux dont les traces sont comprises dans l'angle L'OY ont leur rayon de eourliure positif, et sont près du point 0, d'un certain côté du plan tangent, par exemple au-dessus; les sections faites par des plans dont les traces sont dans l'angle U,OV ont leur rayon de courbure négatif, et sont au-dessous du plan langenl. (le plan tangent traverse donc la surface; il la coupe suivant une courbe o) qui a une brandie tangente à chaque asymptote, comme nous allons le reconnaître.

La droite 7t louche au point (), et cou[h' au point /;, la section par le plan normal c~.. Si l'on fail (ouriier ce plan auloiir de la normale au point (), jusqu'à ce ([ue le point r, arrive en (), la trace q- accjuerra en même temps un contact du premier ordre avec la courlje «, et un contact du second ordre avec la section normale; chacune des asymptotes de l'indicatrice est donc tangente à la courbe w au point 0.

(!ii peut étendre ce résultat aux courbes gauches, en considérant leurs plans osculateurs ; ainsi, quand une courbe tracée sur une surface a en un point son plan osculateur tangent à la sur/ace, elle a pour tangente en ce point une des deux asymptotes de r indicatrice. Il résulte de là i\w une courbe tracée sur une surface convexe ne peut avoir aucun de ses plans osculateurs langent à la surface.

Revenons à \i\.Jig. 33r. Si la l)ranche Ovj de la courbe (,) avait une inflexion au ])oint 0, en faisant tourner le plan normal ai, deux points d'intersection r, et-/;, se réuniraient simultanément au point de tangence 0, et le contact de la section normale avec la tangente VV, de la courbe s'élèverait au troisième ordre. On voit ainsi que chaque asymptote de rindicatrice a un contact d'un ordre moins élevé d'une unité avec la section par le plan tangent qu'avec la section /uinnale.

798. Considérons l'iiyperboloïde scalèiie représenté sur liifig. 332 : en raisonnant comme ii l'arlicle 794, on reconnait (juan sommet O' les sections principales sont l'hyperbole principale jM'O'P', et l'ellipse de gorge N'O'L'. Il est d'ailleurs évident que les centres de courbure E et F de ces lignes sont de côtés dinV'rents du sommet 0'. Si leurs rayons de courbure sont égaux aux rayons principaux d'une surface à courbures opposées, en un point donné, on pourra placer l'hyperboloïde de manière (|u"il y ait osculation.

Les équations (i5), qui déterminent les axes d'une surface du second ordre osculatrice en un de ses sommets d'une surface donnée, montrent que, dans le cas qui nous occupe, l'un ou l'autre des carrés «■ etZ>^ est négatif, quelle (|ue soit la valeur réelle attribuée à c, et que par suite la surface du second ordre est un liyperboloide à une nappe. Quaml c est de même signe (|ue U,, c'est-à-dire quand