CHAPITRE I. ~ THÉORIE GÉNÉRVLE. I

le iciiire (le la surface osculatrice esl du même côté du point 0' que le point K, a est réel et h imaginaire : les sections (jui ont pour rayons R, et Ro sont alors respectivement osculatrices de l'iiyperhole principale et de l'ellipse de gorge.

L'hyperboloide est de révolution, lorsque son centre est au centre de couibure <le l'une des deux sections principales.

799. Les asymptotes de l'indicatrice d'un liyperboloïde, en un point quelconque, sont les génératrices rectilignes qui s'y croisent, car ces droites sont des sections normales qui ont des rayons de courbure infinis. On peut aussi remarquer qu'elles forment l'intersection de la surface par son [Ann tangent.

En raisonnant comme ii l'article 795, on reconnaît que l'byperbole ])rincipale dont le plan est parallèle au plan tangent en 0' {/îg. 332) est bomothétique de l'indicatrice de ce point. Cela résulte d'ailleurs de ce que les asymptotes de cette liyperbole sont parallèles aux génératrices qui passent par le point 0.

La section de la surface par un plan parallèle à un plan tangent à cette surface et infiniment voisin se confond dans la partie infiniment rapprochée du point considéré, avec une hyperbole que l'on peut prendre pour indicatrice (art. 789 :.

800. Cas où /'lin des rayons principaux est infini. — Quand l'un des ravons principaux, R. par exemple, est infini, la formule d'Euler et l'équation de Tindicatrice deviennent

n Ri .a

K = — —■, fj = ±

COS-o ' cOS'f

On a d'ailleurs

«- = Rir, (S- = Rc.

L'indicatrice se compose de deux droites p.p., et nr., parallèles à la trace OYdu plan de la section principale dont le rayon est infini {//g. 333). Les rayons de courbure des autres sections normales sont finis et de même signe; il en résulte que le plan (animent coupe ou touche la surface suivant une ligne qui a pour taniivule au poiiit 0 la droite OY. Cette question sera éclaircie plus tard par quelques exemples.

D'après la première des formules précédentes, pour avoir le rayon de courbure de la section normale dont la trace sur le plan tangent est une droite Oz, on porte sur cette ligne une longueur OE égale au rayon R, de la section principale faite sur OX, puis on trace les droites EE, et E,E. respectivement perpendiculaires à Ot et à OX : la longueur OE, est le rayon cherché.

801. Sur une développable , une génératrice rectiligne est en tous ses points une section principale, car les normales aux différents ()oints de celte droite sont parallèles, et par suite dans un même plan. I.es indicatrices d'une développable sont àonc formées de deux droites paralU'Ies. En un point d'une telle surface, le plan de la seconde section principale est perpendiculaire à la génératrice. Sur un cvlindre une section droite est une section principale en cbarnn de ses |)oinls.

lit. — De la GoiRNEftiF.. — De.H-i li>llfc . :j

lii IJVIÎK VIII. — COlRIll HK m:S SIHF.VCES.

802. Les deux droites dont se compose riiidicadice peuvent être regardées uoninie formant la limite, soit d'une ellipse dont l'un des axes s'allonge indéfiniment, tandis que l'autre reste invariable, soit d'une hyperbole dont l'angle des asymptotes tend vers i8u", et dont les sommets sont fixes. Les surfaces qui ont en cha'jue point un rayon principal infini doivent i\on<:, être considérées comme formant une transition entre les surfaces convexes et celles dont les courbures sont opposées. Lorsqu'une surface est en partie convexe et en partie à courlinres opposées, en chaque point de la ligne de séparation l'un des rayons principaux est infini.

Sur des surfaces entièrement convexes ou entièrement à courbures opposées, on trouve des lignes en chaque point desquelles l'un des rayons principaux est infini. Ce rayon est alors un maximum, et non une transition de rayons principaux positifs à des rayons principaux négatifs.

805. Quand un plan touc/ic une surface le long d'une courbe, la ligne de contact est en cJuicun de ses points tangente à une section principale ayant un rayon de courbure infud.

Pour prouver ce théori'me, supposons que par deux points ^I et \ de la ligmde contact on fasse passer un plan sécant qui contienne la normale à la surface au premier point M : la section de la surface aura avec la section faite dans le plan tangent deux points de contact .AI et N, et si l'on fait (ourner le plan sécant autour de la normale à la surface au point .M, jusqu'à ce qu'il contienne la tangente à la courbe, le point N viendra se réunir à AI, et la section aura un contact du troisième ordre avec sa tanijente; son ravon sera donc infini. Cette .section sera d'ailleurs principale, car les normales à la surface aux deux points 31 et N sont parallèles, notamment (juand la distance de ces points est infiniment petite.

804. Réciproquement, eptand une courbe tracée sur une surface est tangente en r/ur'un de ses points à une section principale ayant un rayon de courbure infini, elle est une ligne de contact de la surface avec un j)lan.

Deux points consécutifs de la courbe appartenant à une section principale dont le rayon est infini, les droites qui y sont normales à la surface se trouvent dans un méini' plan et sont parallldes. Toutes les normales à la surface aux différents points de la courbe sont donc j)ai'allèles, ce (|ui démontre le théorème énoncé.

805. Une surface est développable ijuand elle a en chacun de ses points un de ses deux rayons de courbui-e infini.

Par chaque point d une Iclle surface on peut faire passer une ligne tangente en tous ses points aux sections principales ayant un rayon de courbure infini, car. pour deux points infiniment voisins, les plans de ces sections ne comprennent qu'un angle infiniment petit. La surface est touchée par un plan le long de chacune de ces lignes, et par suite elle est l'enveloppe d'une série de plans, c'està-dire développable.

ClIVr-lTRE I. - TUKORIK OKNKIUI.K. iq

S0(>. I.orsqiif l'on l'ail H, infini, les équations (7) donncnl

(i l'équation (iG) de la surface du second ordre osculatr'ice en un de ses sommets se réduit à

Cette équation représente un cylindre du second ordre. La génératrice i-ectiligne est osculatrice de la section dont le rayon est infini; la section droite est une conique osculatrice en un de ses sommets de la section principale dont le ravon est R,.

807. (as où les deux rayons pnncipaux sont infinis. — I.a formule d'Euler montre (juc, (piand les deux rayons principaux sont infinis, les rayons de courbure des sections normales sont tous infinis, et (jue par suite lu surface est osculée par un plan. Quelques surfaces jouissent de cette propriété, soit en des points isolés, soit en tous les points d'une ligne.

808. Cas où l'un des rayo/is principaii.r est nul. — LorS(|n'un des rayons principaux esl nul, l'autre étant fini ou infini, tous les rayons des sections normales, sauf ce dernier, sont nuls. Cette circonstance se présente aux divers points des arêtes de rebroussement, et aux points isolés où une surlace a un plan de rebroussement, tels que les sommets sur une surface gauche (art. (JGGi. Si l'on donne à la constante c une valeur de même signe que le rayon qui n'est pas nul, on trouve que l'indicatrice est un segment de la langente à la section principale ayani ce rayon. Ce segment de droite doit être considéré comme une ellipse <lont un des axes est nul.

Quand en un point d'une surface le rayon d'une section normale est nul, l'un des rayons principaux est nécessairement nul.

Si une courbe ayant un rebroussement tourne autour de la langente au rcliroussement, la surfiice de révolution qu'elle engendrera aura un point où le rayon de courbure d'une section quelconque sera nul.

Constrticlions diverses relatives aux rayons de courbure des sections

normales.

809. Construction du rayon de courbure d'une section normale. — ■ On peut uiellre fécpiation (Vlsous la forme

|{, sin-'i -h |{.,cos-'i

20 LlVitE VIII. - COUIiliUUE DKS SLIil-ACES.

Le iléiioniinali'ur est la somme des longueurs que l'on olitieiit l()rsi|ue l'dii |)iiijette deux fois le rayon R, sous l'angle (90"— o) et le rayon K> sous l'angle o. La formule conduit done à une construction qui n'exige que la règle et le compas, pour la dclerniinatiun du rayon R d'une section normale, lorsque l'on connaît l'azimut du plan de cette courbe et les rayons principaux.

Quand on doit déteiiniiicr les rayons de plusieurs sections normales, une méthode simple consiste à employer une courbe dont la considération est due à liuler('). On déduit de la formule précédente

(Kl + H,) — (Kl— K,)cos2ç

Si l'on regarde R comme un rayon vecteur correspondant à l'azimut 2Ç), cette équation sera celle d'une conique rapportée à l'un de ses foyers et à l'axe {|ui y passe. Les demi-axes de celte courbe sont

U, -H Ho