ihéorème d'Eulor donne

^ = 1- eos=(no''+ ç) + Tj- sin-i 00°+ 9) = — sin^'i + y- cos-'o:

lis Hi "^ l^î l>i ' l>2

.:2//; Ko , ,,\ , .LcinV. ^o.

^ cos^(/,5"+ ç.) + j^ sm^(^y + ç.) = i^ + -^ l('jl- - jl-) sin2..

Introduisant ces expressions dans l'équation qui donne la valeur de c?, el appelant, comme précédemment, « la loni;neur intiniment petite O///, on trouve

:2o) o = -«(^|^ - j^jsin2?.

(Icttc rornuile donne ponr la déviation une grandeur positive, (|iiand la partie de la normale intérieure voisine de la surface se projette sur le plan tangent en dehors de l'angle 9, mesuré à partir de la section principale ayant le pins grand rayon de courbure. La quantité a doit être considérée comme positive.

L'équation (ao) montre que la déviation atteint sa valeur maximum quand le plan normal partage en parties égales l'angle des plans principaux, et que les déviations des normales sont égales pour des directions symétriques par rapport il ce plan Lissectenr. La déviation change désigne à chaque plan principal.

En éliminant l'angle o entre les équations (20) et (.)), ou obtient (' )

812. Le rapport des grandeurs infiniment petites v. et 5 est une longueur tinie que nous représenterons par la lettre K, et que nous appellei'ons/w/ww/cV/yr/e (k'viatiori. Ce paramètre est intini ([uand la déviation est nulle. Nous avons

i 20 bis)

21 his)

Supposons maintenant que l'on trace dans le plan tangent en .M une courbe

(') Les formules (20) et (21) sont dues, la première à M. J. Bertraïul (Mémoire cilé à l'artiolc TSl 1. la seconile à M. I.amarle ( Exposé géométrique, V Parlie).

sinay,

tut

ciiAi'iriii: I. - iiiKniîii; i,ÉM-:ii\Ln;. 23

(elle (jiic les carrés des rayons vecteurs issus du jioiut .AI soient proportionnels aux paramètres de déviation des sections normales tangentes : nous aurons, en appelant 2, le rayon vecteur qui correspond à un azimut ç, et c, un paranil'trc arhitraiic,

puis, en vei'ln de ' 20 bis).

enfin, en appelant c et y les coordonnées p,cos'^ el o^ sin^ d'un point de I.! courbe,

(iette ligne est donc une liypeihulc écpiilatère dont les asymptotes sont tangentes aux sections principales. Elle joue [)0ur les paramètres de déviation le inénu' rùlc que l'indicatrice pour les rayons de courbure.

815. On peut déterminer le paramètre de déviation à l'aide de l'iiidicatiice ; car, si l'on appelle c l'angle formé par la normale à cette courbe en un point avec le ravon vecteur, on a

tanifc = — irr^ xv.

Hemplaçant a- et b- par leurs valeurs (7), et le produit .rv par o-sinscoso. p étant comme précédemment le rayon vecteur de l'indicatrice, on obtient

H,- Ho ., .

on oien

tangi'=-~R (î{^ - ïJ;) sin2ç.

Enfin, eu égard à ré(juation (20),

tangc = -R^('), K — - Rcotc.

I ■) CeUo formule a été donnée par M. Alings : De supcrficieram ciirraturn ; Groningse. i849- D'après un Uiéorème de Maclaurin {Traité des fluxions, CXI) récemment rappelé par if. P. Serret ( Des nwtlindes en Géométrie), on a

COll' = -=7->

K cl !■ ayant les significations indiquées dans le texte, et R' étant le rayon de courbure de la déve-

.y^r, MVRE VIll. — COURrjUîE DES SUil'ACES.

814. Considérons une surface du second ordre [fig. 33.4); soient D sa section par l'un de ses plans principaux que nous prenons pour plan vertical de projection, et ;M'C la normale au sommet (M, M') : si par un point m infiniment voisin de M on fait passer un plan DE parallèle à celui de la section £2, il coupera la surface suivant une conique dont les axes ne différeront des axes de H (juc de quantités infiniment petites du second ordre (art. 777), et dont par conséquent la projection verticale devra être regardée comme confondue avec û, si l'on n'a énard qu'aux infiniment petits du premier ordre. Lé point m de l'espace se projette donc en un point jn' de O, et la projection de la normale à la surface au point ?n est la normale à il en ce point m' infiniment rapproché de M'; elle passe ainsi au centre de courbure C de Q. pour le point M'; nous concluons de là que la normale à la surface au point m infiniment l'approché de (M, M'), et d'ailleurs (juelconque, rencontre la perpendiculaire au plan de il qui passe au centre de i-ourbureC; elle rencontre aussi et par la même raison la droite qui est perpendiculaire au plan de la seconde section principale en ]\I, et qui passe par le centre de courbure de cette section.

On reconnaît d'après cela, par la considération d'une surface du second ordre osculatrice en un de ses sommets, que toutes les normales à une surface aux points infiniment voisins d'un point donné rencontrent les deux droites qui passent respectivement par les centres des sections principales et qui sont perpendiculaires à leurs plans. Nous appellerons ces droites axes de dthnation (' ).

Cciirbiire des sections ohlicjucs et de la section par le plan tai gent.

815. Tlu'orè:n; de Meusnier. — Nous allons maintenant chercher comment on [)eul déterminer le rayon de courbure d'une section oblique, quand on connaît le ravon de courbure delasection normale qui lui est tangente, et l'angle des plans de ces courbes. Nous supposerons d'abord que la section oblique est tangente à une section principale.

Soient

OC la normale à une surface en un point 0 ijîg. 335); H la section de cette surface par un plan principal P;

loppce de l'iiulicatrico. Inlrocliiisanl celle valeur de eoli' dans réquation du parauièlre de dcvialiou.

DU lr.)Uvo

O» peut déduire de ces d verses formules des construclions assez simples pour le paramèlre K. (') Ce Ihéorème csl dû à Slurm {Cnmpies rendus, premier semestre 1845). La démonstraliou ipu' iinus en présentons csl de M. Mannlieim.

CIIVPITIÎE I. - THKORIE GICNÉRALE. 2-)

tu un point situé sur Q. à une distance infiniment petite de 0;

>.'> une section de la surface par un plan O contenant les points 0 et m.

La normale à la surface au |)oint //^'st dans le plan P, et le point C oii elle rencontre la normale OC est le centre de courbure de la section principale il.

Les normales à la section oblique oj en cliacun des points 0 et m sont les projections sur le plan Q des normales indéfinies à la surface en ces points (art. 46). Le centre de courbure c de «, point de rencontre des deux normales aux points 0 et m, est donc la projection sur le plan Q du point C, centre de rourbure de la section principale 0..

Si le plan P est un plan nornuil en 0 et d'ailleurs quelconque, la normale ii la surface en m sera une droite wIV située hors de ce plan, et ses projections nd'. et me sur P et sur Q seront les normales principales aux sections D et to. Mais l'angle de la normale wN avec le plan P étant infiniment petit, et l'angle NwO ne différant qu'infiniment p(>u d'un droit, l'angle compris entre la droite me et la projection de wC sur Q est infiniment petit du second ordre. La normale principale à la section oblique w au point /« est donc la projection de la normale principale à la section 1> au même point. Par conséquent, le rayon de eoiirlittre en un point cVane section ohlviue d'une surface est la projection du rayon de courbure en ce point de la section nornmle tangente à la section oblique, quelle que soit la position de cette dernière par rapport aux plans principaux. Ce théorème <'st dû à .Aleusnier ( ' ).

Si l'on appelle r et R les rayons de courbure au même point d'une section oblique et delà section normale tangente, et 7 l'angle de leurs plans, on aura

(23) r=Rcos7.

Tous les raisonnements qui précèdent peuvent être appliqués à une courl)e lianclie. Le plan Q est alors le plan osculateur de la courbe au point considéi'é.

810. Courbure de la section par le plan tangent. — Si la section oblicjue est tangente à une asymptote de l'indicatrice, R est infini, et par suite /• est également

C) Mémoire sur ta courbure des surfaces {Savants étrangers, 1776).

Si l'on voulait une démonstration plus minutieuse, on pourrait remarquer que, sans faire aucune hypothèse sur l'angle que le plan Q fait avec le plan P normal en 0 et d'ailleurs quelcon(|ue {fg. 337), on peut obtenir, comme à l'article 817, l'cquation

cosN/»F cosF/«0 = cosNwjG cosG wO.

Les diitcrents angles qui entrent dans cette formule ont les valeurs indi([uées à l'article 817. s;uif NwG qui dIfTcre infiniment peu de 7. i;é(]uatli)n se réduit donc à

E = = cosy.

d'oii

/• = R cosy.

m. — De la Gourserie. — Descriptive. c

infini, quelque soit y. Cependant, quand cet angle est droit, c'est-à-dire quand le plan Q est tangent à la surface, la ibrniule (ai) donne une valeur indéterniinéf pour /•, et le théorème de IMeusnier n'apprend plus rien sur la grandeur du rayon de courbure delà section.

Nous avons démontré à l'article 797 qu'une asymptote de l'indicatrice a un contact d'un ordre moins élevé d'une unité avec la section tangente qu'avec la section normale. Dans le cas général, le contact de la section normale est du second ordre, celui de la section par un plan tangent est par conséquent du premier ordre, et son rayon de courbure a une grandeur finie.

Nous allons parvenir au même résultat par des considérations infinitésimales analoo-ues à celles que nous avons présentées à l'article précédent, et qui auront l'avantage de nous donner une expression du rayon de courbure.

tîl7. Soient

m un point de la surface infiniment voisin du jtoint considéré 0 [Jig- 337), *'' situé sur l'une des asymptotes de l'indicatrice de ce point;

OZ etmN les normales à la surface aux points 0 e[in;

Q. la section de la surface par le plan P qui contient la normale OZ et le point m;

■j) celle des branches de la section par le plan tangent Q, qui touche la droite XO/wY, asymptote de l'indicatrice;

m¥ et mG les projections de la normale /«N sur les plans P et Q.

Les trois droites m^,mV etmO forment untrièdre rectangle le long de l'arèlc //.■F; on a par conséquent

cosN/nO — cosNmF cosYmO.

Le trièdre formé par les droites wN, />iG et mi) donne de la même manière

cosNwiO = cosNmG cosGwO.

Nous avons par suite

cosNmF cosF/«0 = cosNwG cosG/nO.

L'angle NwF est infiniment petit, et son cosinus est égal à l'unité ; les angles FmO etGmO sont complémentaires des angles de contingence E et h des courbes Q, et 0) au point 0; l'angle NwGest complémentaire de la déviation f^. L'équation se réduit donc à